Lineární algebra a geometrie II - letní semestr


Předběžný program přednášek a cvičení na jaro 2011, požadavky v průběhu semestru

textový soubor


1. cvičení: Opakování z 1. semestru Doporučené úlohy. Příklady z písemky A. Příklady z písemky B.

1. přednáška 22. 2. 2010: Afinní geometrie

Afinní podprostor vektorového prostoru, definice a příklady, všechny afinní podprostory v R^2 a v R^3. Zaměření a dimenze afinního podprostoru. Afinní kombinace bodů. Neprázdná množina je afinní podprostor, právě když zachovává afinní kombinace bodů. Parametrický popis afinního podprostoru. Implicitní popis afinního podprostoru pomocí soustavy rovnic. Algoritmus přechodu od parametrického popisu k popisu pomocí soustavy rovnic. Vzájemná poloha afinních podprostorů. Průnik a spojení afinních podprostorů. Seznam úloh, které je potřeba umět řešit. Text doc. Zlatoše, kapitola 8, ps soubor nebo text přednášky, pdf soubor (Za naTeXování děkuji Ondřeji Životskému.)  


2. cvičení: Afinní geometrie Instrukce pro cvičící. Sbírka úloh z LA 1, afinní geometrie, strany 53-61

2. přednáška 1. 3. 2010: Dokončení afinní geometrie. Duální prostor

Označení pro báze, souřadnice , matice zobrazení a matice přechodu. Lineární formy na vektorovém prostoru, příklady, duální vektorový prostor, duální báze, druhý duál a věta o izomorfismu mezi prostorem a druhým duálem, duální lineární zobrazení, matice duálního lineárního zobrazení v duálních bazích. Lineární algebra III, strany 35 - 37, pdf soubor nebo text začátku přednášky, pdf soubor (Za naTeXování děkuji panu Filipu Zlámalovi)  


3. cvičení: Lineární formy Instrukce pro cvičící

3. přednáška 8. 3. 2010: Bilineární formy

Definice bilineárního zobrazení a bilineární formy, matice bilineární formy v dané bázi, změna matice bilineární formy při přechodu od jedné báze k druhé bázi, kongruentní matice. Symetrické a antisymetrické bilineární formy a matice. Algoritmus, který umožní k dané symetricke matici najit kongruentní diagonální matici pomocí stejných řádkových a sloupcových úprav. Aplikace na symetrické bilineární formy. Polární báze. Definice kvadratické formy. Diagonalizace kvadratické formy. Text doc. Zlatoše, kap. 11, ps soubor nebo Text přednášky, pdf soubor (Za naTeXování děkuji Filipu Zlámalovi)  


4. cvičení: Bilineární formy Instrukce pro cvičící

4. přednáška 15. 3. 2010: Kvadratické formy nad R

Jiná diagonalizace kvadratické formy pomocí tzv. "úpravy na čtverce". Hodnost a signatura kvadratické formy. Sylvestrův zákon setrvačnosti. Pozitivně a negativně definitní, pozitivně a negativně semidefinitní a indefinitní kvadratické formy. Sylvestrovo kriterium. Text doc. Zlatoše, kap. 12, pdf soubor nebo Text přednášky, pdf soubor (Za naTeXování děkuji panu Havlíkovi.)  


5. cvičení: Kvadratické formy Instrukce pro cvičící

5. přednáška 22. 3. 2010: Skalární součin

Skalární součin na reálných a komplexních vektorových prostorech, příklady. Velikost vektoru, kolmé vektory. Cauchyova nerovnost, úhel dvou vektorů. Ortogonální báze. Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces. Ortonormální báze. Souřadnice v ortonormální bázi, skalární součin vyjádřený v souřadnicích ortonormální báze. Ortogonální doplněk. Ortogonální (= kolmá) projekce na podprostor. Její výpočet. Grammova matice a Grammův determinant. Text doc. Zlatoše, kap. 13, pdf soubor , text doc. Zlatoše o unitárních prostorech, kap. 17.1 - 17.3, pdf soubor a text doc. Zlatoše, kap. 14.1, pdf soubor o kolmé projekci  


6. cvičení: Skalární součin Instrukce pro cvičící

6. přednáška 29. 3. 2010: Euklidovská geometrie

Vlastnosti kolmé projekce. Vzdálenost bodu od afinního podprostoru. Vzdálenost dvou afinních podprostorů. Definice odchylky dvou vektorových podprostorů a dvou afinních podprostorů. Věta o výpočtu odchylky přímky a afinního podprostoru. Text doc. Zlatoše, kap. 14, pdf soubor  


7. cvičení: Euklidovská geometrie I Instrukce pro cvičící

7. přednáška 12. 4. 2010: Vlastní čísla a vlastní vektory

Definice lineárního operátoru (endomorfismu, lineární transformace). Definice invariantního podprostoru, definice vlastních čísel a vektorů. Výpočet vlastních čísel jako kořenů charakteristického polynomu. Výpočet vlastních vektorů. Více o polynomech a jejich kořenech. Text doc. Zlatoše, kap. 18, pdf soubor.  


8. cvičení: Euklidovská geometrie II Instrukce pro cvicici

8. přednáška 19. 4. 2010: Vlastní čísla a vektory. Ortogonální a unitární operátory

Algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla. Vlastní vektory k různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé. Operátor má v bázi diagonální matici, právě když je báze tvořena vlastními vektory. Text doc. Zlatoše, kap. 18, pdf soubor. a Text doc. Zlatoše, kap. 19, pdf soubor. Definice ortogonálního a unitárního operátoru. Vlastnosti těchto operátorů. Ortogonální a unitární matice. Determinant ortogonální a unitární matice.  


9. cvičení: Vlastní čísla a vektory Instrukce procvicici

9. přednáška 26. 4. 2010: Ortogonální a unitární operátory

Vlastní čísla unitárních operátorů mají absolutní hodnotu rovnu jedné. Pro daný unitární operátor existuje ortonormální báze tvořená vlastními vektory. Invariatní podprostory dimenze dvě u ortogonálních operátorů. Která geometrická zobrazení popisují ortogonální matice 3x3. Dva příklady. Text přednášky - pdf soubor. Za naTeXování děkuji Filipu Zlámalovi.  


10. cvičení: Ortogonální a unitární operátory Instrukce pro cvičící

10. přednáška 3. 5. 2010: Samoadjungované operátory

Adjungované lineární zobrazení, jeho matice v daných bazích, samoadjungovaný lineární operátor. Jeho vlastní čísla jsou reálná, existuje ortonormální báze tvořená vlastními vektory. Věta o spektrálním rozkladu samoadjungovaného operátpru. Samoadjungovaný operátor jako lineární kombinace kolmých projekcí na podprostory. Aplikace na kvadratické formy. Nalezení ortonomální báze, v níž je daná kvadratická forma diagonální. Text přednášky - pdf soubor, za naTeXování děkuji Filipu Zlámalovi.  


11. cvičení: Samoadjungované operátory a kvadratické formy Instrukce pro cvičící

11. přednáška 10. 5. 2010: Jordanův kanonický tvar I

Jordanova buňka, řetězec vektorů příslušný Jordanově buňce, věta o Jordanově kanonickém tvaru, maticová verze Jordanovy věty. Hledání báze, v níž má daný operátor Jordanův kanonický tvar. Příklady v R^3. Text přednášky - pdf soubor. Za naTeXování děkuji Filipu Zlámalovi.  


12. cvičení: Jordanův kanonický tvar I Instrukce pro cvičící

12. přednáška 17. 5. 2010: Jordanův kanonický tvar II

Hledání báze, v níž má daný lineární operátor Jordanův kanonický tvar. Příklady v R^4. Použití Jordanova kanonického tvaru při řešení diferenciálních rovnic nabo idea důkazu věty o Jordanově kanonickém tvaru. Text přednášky   Text prof. Slováka, kapitola 5  


13. cvičení: Jordanův kanonický tvar II Instrukce pro cvičící


Skripta doc. Zlatoše Lineární algebra a geometrie k přednášce

najdete v ISu ve studijních materiálech předmětu PřF:M2110.  


Mgr. Jarmila Elbelová: Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie II - řešené úlohy a zadání úloh na procvičení

pdf soubor.


Mgr. Jarmila Elbelová: Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie II - výsledky úloh

pdf soubor.  


Písemky z června 2004 pdf skupiny AB. pdf skupiny CD. pdf skupiny GH.


Písemka z 4.6. 2003 pdf file,


Písemka z 11.6. 2003 pdf file,


Písemka z 16.6. 2003 pdf file,


Písemka s řešením z 29.5. 2001 ps file,


Písemka s řešením z 1.6. 2001 ps file,


Písemka s řešením z 1.6. 1999 ps file,


Písemka z 26.5. 1999 ps file,


Test z dubna 1999 ps file,   Test z dubna 1998 ps file,   řešení, ps,   Zadání a řešení písemky z 4. 6. 1998 ps file,   Zadání a řešení písemky z 12. 6. 1998 ps file,   Zadání a řešení písemky z 22. 6. 1998 ps file,