Veta. Vlastnosti čtyřúhelníkových Bézierových segmentů \underline{Chování v okrajových křivkách} :Okrajové body kontrolní sítě jsou Bézierovy body hraničních křivek rovinného segmentu.

Důkaz. Dokážeme, že pro hodnoty parametrů (u, v) = (0, 0), (1, 0), (0, 1)a(1, 1) platí, že kontrolní body b(0, 0) = b_{00}, b(1, 0) = b_{n0}, b(0, 1) = b_{0m} a b(1, 1) = b_{nm} , tzn., že okrajové body kontrolní sítě leží na čtyřúhelníkovém rovinném segmentu. Pro (u, v) = (0, 0) platí: b(0, 0) = ∑_{i=0}^{n} ∑_{j=0}^{m} b_{ij}B_{j}^{m}(0)B_{i}^{n}(0) =∑_{i=0}^{n} b_{i}(0)B_{i}^{n}(0). protože b_{i}(0)=∑_{j=0}^{m} b_{ij}B_{j}^{m}(0)= ∑_{j=0}^{m} b_{ij} \binom{m}{j}0^{j}1^{m−1} = b_{i0} \binom{m}{0}0^{0}1^{m}+b_{i1} \binom{m}{1}0^{1}1^{m−1} +...+b_{im} \binom{m}{m}0^{m}1^{0}=b_{i0}, platí: b(0, 0)=∑_{i=0}^{n} b_{i0}B_{i}^{n}(0)= ∑_{i=0}^{n} b_{i0} \binom{n}{i}0^{i}1^{(n−i)}=b_{00} Analogicky lze provést pro parametry (0, 1), (1, 0) a (1, 1).

Veta. \underline{Planarita} Beziérova rovinná část je rovina, právě když beziérova kontrolní siť tvoří rovinnou mřížku.

Důkaz. (a) Předpokládám, že beziérova kontrolní síť tvoří rovinnou mřížku. Bod b_{ij} má

souřadnice (\begin{matrix}ij & 1 \\ ij & 2 \\ . \\ . \\ . \\ ij & d \end{matrix}).

Protože všechny body b_{ij} leží v jedné rovině, můžeme je po vhodné transfor-

maci souřadnic vyjádřit ve tvaru b_{ij}=(\begin{matrix}ij & 1 \\ ij & 2 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \end{matrix}).

Výsledný bod beziérovy rovinné části získáme jako afinní kombinaci kontrolních bodů: b(u, v) = ∑_{i=0}^{n} ∑_{j=0}^{m} b_{ij}B_{i}^{n}(u)B_{j}^{m}(v), což z hlediska výpočtu představuje lineární kombinaci matic tvaru

∑_{i=o}^{n} ∑_{j=o}^{m} c_{ij} (\begin{matrix}ij & 1 \\ ij & 2 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \end{matrix}).

Bod b(u^{∗}, v^{∗}) je tedy rovněž určen pouze prvními dvěmi souřadnicemi (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \end{matrix}).

To platí pro všechny b(u, v), kde u,v nabývá hodnot od 0 do 1. Dimenze beziérovy rovinné části je 2 a jedná se o rovinu. (b) Předpokládám, že Beziérova rovinná část je rovina. Každý její bod b(u^{∗}, v^{∗}), který je určen afinní kombinací bodů kontrolní sítě b_{ij} lze ve vhodných souřadnicích vyjádřit

b(u^{∗}, v^{∗})=(\begin{matrix}b^{1} \\ b^{2} \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \end{matrix}).

Pro k-tou souřadnici bodu b(u^{∗}, v^{∗}), kde k je větší nebo rovno než 3 platí: 0 = ∑_{i=0}^{n} ∑_{j=0}^{m} b_{ij}^{k}B_{j}^{m}(v^{∗})B_{i}^{n}(u^{∗}).

Tato rovnost musí platit pro všechny body beziérovy rovinné části, tzn. parametry u,v volíme libovolně z intervalu < 0, 1 >. Nutně tedy b_{ij}^{k} = 0 pro všechna i=0,...,n a j=0,...,m.

Body kontrolní sítě musí jít rovněž vyjádřit ve tvaru b_{ij} = (\begin{matrix}b_{ij}^{1} \\ b_{ij}^{2} \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix}), proto

podprostor < (b_{ij}) > má dimenzi 2.

Veta. \underline{Plochové křivky} Obraz přímky v rovině určené u-v na ploše je polynomiální křivka stupně nejvýše m+n.

Důkaz. Pro přímku ležící v rovině u-v platí: u = kv + q. Zobrazením této přímky na plochu přímo dostaneme polygonální křivku stupně max. n+m: f(u) = b(kv+q, v) = ∑_{i=0}^{n} ∑_{j=0}^{m} b_{ij} \binom{m}{j}v^{j}(1 − v)^{m−j} \binom{n}{i}(kv + q) ^{n}(1 − kv − q)^{n−i}, po roznásobení a provedení sumace f(u) = c_{o}v^{m+n} +c_{1}v^{m+n−1} +...+c_{m+n−1} v+ c_{m+n} , tzn. f(u) je polynom stupně nejvýše n+m.