Věta 2.7. Derivace Beziérova křivkového segmentu v bodě t se spočítá takto:

\frac{d^{p}}{dt^{p}}bbb(t) = \frac{n!}{(n − p)!} ∑_{i=0}^{n−p}Δ^{p}bbb_{i}B_{i}^{n−p}(t)

= \frac{n!}{(n − p)!}Δ^{p}bbb_{n−p}^{n−p}(t),

kde

Δ^{0}bbb_{i} = bbb_{i}
Δ^{p}bbb_{i} = Δ^{p−1}bbb_{i+1} − Δ^{p−1}bbb_{i}
Δ^{0}bbb_{i}^{j}(t) = bbb_{i}^{j}(t)
Δ^{p}bbb_{i}^{j}(t) = Δ^{p−1}bbb_{i+1}^{j} (t) − Δ^{p−1}bbb_{i}^{j}(t)  i = j, …, n − p

Důkaz. 1.\frac{d^{p}}{dt^{p}}bbb(t) = \frac{n!}{(n−p)!} ∑_{i=0}^{n−p} Δ^{p}bbb_{i}B_{i}^{n−p}(t)

Matematickou indukcí: a)p = 1. Využijeme vztahu \frac{d}{dt}B_{i}^{n}(x) = n(B_{i−1}^{n−1}(x) − B_{i}^{n−1}(x)).

\frac{d}{dt}bbb(t) = [∑_{i=0}^{n}bbb_{i}B_{i}^{n}(t)]′

= −bbb_{0}n(1 − t)^{n−1} + ∑_{i=1}^{n−1}bbb_{i}n[B_{i−1}^{n−1}(t) − B_{i}^{n−1}(t)] + bbb_{n}nt^{n−1}

= n[B_{0}^{n−1}(t)(bbb_{1} − bbb_{0}) + B_{1}^{n−1}(t)(bbb_{2} − bbb_{1}) + ⋯ + B_{n−2}^{n−1}(t)(bbb_{n−1} − bbb_{n−2}) + B_{n−1}^{n−1}(t)(bbb_{n} − bbb_{n−1})]

Pro p = 1 tedy tvrzení platí.

b) Předpokládejme, že tvrzení platí pro p. Dokážeme, že platí pro p + 1.

\frac{d^{p+1}}{dt^{p+1}} bbb(t) = \frac{d}{dt}(\frac{n!}{(n − p)!} ∑_{i=0}^{n−p}Δ^{p}bbb_{i}B_{i}^{n−p}(t))

= \frac{n!}{(n − p)!} \frac{(n − p)!}{(n − p − 1)!} ∑_{i=0}^{n−p−1}Δ^{1}(Δ^{p}bbb_{i})B_{i}^{n−p−1}(t)

= \frac{n!}{(n − p − 1)!} ∑_{i=0}^{n−p−1}Δ^{p+1} bbb_{i}B_{i}^{n−p−1}(t)

2.\frac{d^{p}}{dt^{p}}bbb(t) = \frac{n!}{(n−p)!}Δ^{p}bbb_{n−p}^{n−p}(t)

Matematickou indukcí. a)p = 1. Vycházíme z důkazu první části věty pro p = 1.

\frac{d}{dt}bbb(t) = [∑_{i=0}^{n}bbb_{i}B_{i}^{n}(t)]′

= −bbb_{0}n(1 − t)^{n−1} + ∑_{i=1}^{n−1}bbb_{i}n[B_{i−1}^{n−1}(t) − B_{i}^{n−1}(t)] + bbb_{n}nt^{n−1}

= n[B_{0}^{n−1}(t)(bbb_{1} − bbb_{0}) + B_{1}^{n−1}(t)(bbb_{2} − bbb_{1}) + ⋯ + B_{n−2}^{n−1}(t)(bbb_{n−1} − bbb_{n−2}) + B_{n−1}^{n−1}(t)(bbb_{n} − bbb_{n−1})]

= n[(B_{0}^{n−1}(t)bbb_{1} + B_{1}^{n−1}(t)bbb_{2} + ⋯ + B_{n−1}^{n−1}(t)bbb_{n})

− (B_{0}^{n−1}(t)bbb_{0} + B_{1}^{n−1}(t)bbb_{1} + ⋯ + B_{n−1}^{n−1}(t)bbb_{n−1})]

= n(bbb_{n}^{n−1} − bbb_{n−1}^{n−1})

Pro p = 1 tedy tvrzení platí. b)Předpokládejme, že tvrzení platí pro p, dokážeme, že platí i pro p + 1.

\frac{d^{p+1}}{dt^{p+1}} bbb(t) = \frac{d}{dt}[\frac{n!}{(n − p)!}Δ^{p}bbb_{n−p}^{n−p}(t)]

= \frac{n!}{(n − p)!}(n − p)Δ^{1}(Δ^{p}bbb_{n−p}^{n−p}(t))

= \frac{n!}{(n − p − 1)!}Δ^{p}bbb_{n−p+1}^{n−p} (t) − Δ^{p}bbb_{n−p}^{n−p}(t)

= \frac{n!}{(n − p − 1)!}Δ^{p+1} bbb_{n−p}^{n−p}(t)

□