Počítačová geometrie.

V.3.3.Vliv kontrolních bodů:

b_{i} má největší vliv na b(t) v právě jednom bodě. Důkaz:

∑_{j=0}^{n} ( \begin{matrix}β_{j} & b_{j} \\ β_{j} \end{matrix} ) B_{j}^{n} ↦ \begin{matrix}∑_{j=0}^{n} & β_{j}b_{j}B_{j}^{n}(t) \\ ∑_{i=0}^{n} & β_{i}B_{i}^{n}(t) \end{matrix}, β_{>}0

Perspektivistickou projekcí jsme dostali Racionální béziérův křivkový segment.

Jelikož chceme vědět, kdy má b_{i} největší vliv na RBKS (b_{j} je pevné), je třeba zjistit, kdy má výraz

\frac{β_{j}B_{j}^{n}(t)}{∑_{i=0}^{n} β_{i}B_{i}^{n}(t)} b_{j}

maximum (do čitatele zlomku jsme vzali jeden člen sumy z čitatele předchozího výrazu). Protože maximum počítáme vzhledem k t, hodnoty

( \begin{matrix}n \\ j \end{matrix} ) i β_{j} lze zanedbat. Dostaneme tedy výraz

\frac{(t)^{j}(1 − t)^{n−j}}{∑_{i=0}^{n} β_{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) t^{i}(1 − t)^{n−i}}

jehož úpravou získáme

\begin{aligned}\frac{1}{∑_{i=0}^{n} β_{i}( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} )t^{i−j}(1−t)^{(n−i)+(j−n)}} & = & \frac{1}{∑_{i=0}^{n} β_{i}( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} )t^{i−j}(1−t)^{j−i}} \\ & = & \frac{1}{∑_{i=0}^{n} β_{i}( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} )(\frac{t}{1−t})^{i−j}} \end{aligned}

Maximum posledního výrazu je totéž, jako minimum výrazu

∑_{i=0}^{n}β_{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) (\frac{t}{1 − t})^{i−j}

0 < \frac{t}{1 − t} < ∞; (t ∈ [0; 1])

Vyjádříme tedy první derivaci tohoto výrazu podle t :

(∑_{i=0}^{n}β_{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) (\frac{t}{1 − t})^{i−j})′ = ∑_{i=0}^{n}(β_{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) (\frac{t}{1 − t})^{i−j})′ = [(\frac{t}{1 − t}) = α ] =

= ∑_{i=0}^{n}(β_{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) α^{i−j})′ = ∑_{i=0}^{n}β_{i} (i − j)( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) α^{i−j−1}

Tuto derivaci položíme rovnu nule:

∑_{i=0}^{n}β_{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) α^{i−j−1} = 0

Zcela zřejmě platí:

\begin{matrix}α → ∞................ ∑_{i=0}^{n} β_{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) α^{i−j−1} → ∞ \\ α → 0................ ∑_{i=0}^{n} β_{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) α^{i−j−1} → −∞ \end{matrix}

Jelikož jde o spojitou rostoucí funkci, jejíž ”první” členy jsou kladné a ”poslední” záporné

(−∞.............. − − − − − 0 + + + + + ............... + ∞) zcela jistě existuje člen nulový a to právě jeden.