Věta 3.2 Vlastnosti racionálních Bézierových křivkových segmentů

1. \underline{Chování v koncových bodech:}Kontrolní polygon a křivkový segment mají stejný počáteční a koncový bod. První a poslední kontrolního polygonu je tečný ke křivce. Ostatní Bézierovy bodu nejsou interpolovány, pouze aproximovány.

Důkaz

Racionální Bézierův křivkový segment:

b(t) = \frac{β_{0}b_{0}B_{0}^{n}(t) + … + β_{n}b_{n}B_{n}^{n}(t)}{β_{0}B_{0}^{n}(t) + … + β_{n}B_{n}^{n}(t)}

čitatele označíme u(t) a jmenovatele v(t).

Platí

b′(t) = \frac{u′(t)v(t) − u(t)v′(t)}{v^{2}(t)}

Pro počáteční bod dokážeme

\frac{b_{1} − b_{0}}{||b_{1} − b_{0}||} = \frac{b′(0)}{||b′(0)||}

Podle věty 2.7 platí

u′(0) = n(β_{1}b_{1} − β_{0}b_{0})
v′(0) = n(β_{1} − β_{0})

Dále platí

u(0) = β_{0}b_{0}
v(0) = β_{0}

Tedy

b′(0) = \frac{n(β_{1}b_{1} − β_{0}b_{0}) · v(0) − u(0) · n(β_{1} − β_{0})}{v^{2}(0)}
= \frac{nβ_{0}β_{1}b_{1} − nβ_{0}^{2}b_{0} + nβ_{0}β_{1}b_{0} − nβ_{0}^{2}b_{0}}{β_{0}^{2}}
= \frac{nβ_{1}(b_{1} − b_{0})}{β_{0}}

Dosazením dostáváme

\frac{b′(0)}{||b′(0)||} = \frac{\frac{nβ_{1}(b_{1}−b_{0})}{β_{0}}}{||\frac{nβ_{1}(b_{1}−b_{0})}{β_{0}} ||} = \frac{b_{1} − b_{0}}{||b_{1} − b_{0}||}

Pro koncový bod dokážeme

\frac{b_{n} − b_{n−1}}{||b_{n} − b_{n−1}||} = \frac{b′(1)}{||b′(1)||}

Podle věty 2.7 platí

u′(1) = n(β_{n}b_{n} − β_{n−1}b_{n−1})
v′(1) = n(β_{n} − β_{n−1})

Dále platí

u(1) = β_{n}b_{n}
v(1) = β_{n}

Tedy

b′(1) = \frac{n(β_{n}b_{n} − β_{n−1}b_{n−1}) · v(1) − u(1) · n(β_{n} − β_{n−1})}{v^{2}(1)}

= \frac{nβ_{n}^{2}b_{n} − nβ_{n}β_{n−1}b_{n−1} + nβ_{n}^{2}b_{n} − nβ_{n}β_{n−1}b_{n}}{β_{n}^{2}}
= \frac{nβ_{n−1}(b_{n} − b_{n−1})}{β_{n}}

Dosazením dostáváme

\frac{b′(1)}{||b′(1)||} = \frac{\frac{nβ_{n−1}(b_{n}−b_{n−1})}{β_{n}}}{||\frac{nβ_{n−1}(b_{n}−b_{n−1})}{β_{n}} ||} = \frac{b_{n} − b_{n−1}}{||b_{n} − b_{n−1}||}