Vlastnosti Bernsteinových polynomů

1. \underline{Rozklad jednotky:}Součet Bernsteinových polynomů stupně n je 1:

n ; ∑_{i=0}B_{i}^{n}(x) = 1.

2. \underline{Pozitivita:}Bernsteinovy polynomy jsou v intervalu ⟨0, 1⟩ nezáporné:

B_{i}^{n}(x) ≥ 0, i = 0, …, n, x ∈ ⟨0, 1⟩.

3. \underline{Maximum:}B_{i}^{n}(x) nabývá svého maxima v intervalu ⟨0, 1⟩ v bodě \frac{i}{n}, i = 0, …, n.

4. \underline{Sumace:}

n ; ∑_{i=0}iB_{i}^{n}(x) = n · x.

5. \underline{Symetrie:}

B_{i}^{n}(x) = B_{n−i}^{n}(1 − x), i = 0, …, n.

6. \underline{Rekurze:} Pro i = 0, …, n platí, že Bernsteinův polynom stupně n + 1 je konvexní kombinací dvou Bernsteinových polynomů stupně n:

B_{i+1}^{n+1} (x) = xB_{i}^{n}(x) + (1 − x)B_{i+1}^{n} (x).

7. \underline{Derivace:} Pro i = 1, …, n − 1 platí:

\frac{d}{dx}B_{i}^{n}(x) = n · [B_{i−1}^{n−1}(x) − B_{i}^{n−1}(x)].

8. \underline{Integrace:}

∫_{0}^{1} B_{i}^{n}(x)dx = \frac{1}{n + 1} .

Důkaz: (1.) Rozepsáním podle definice Bernsteinových polynomů stupně n a úpravou podle binomické věty dostáváme uvedený vztah:

n ; ∑_{i=0}B_{i}^{n}(x) = n ; ∑_{i=0}\binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i} = (x + 1 − x)^{n} = 1.

(2.) Podle definice Bernsteinových polynomů stupně n:

B_{i}^{n}(x) = \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i}, i = 0, …, n,

ale \binom{n}{i} > 0 ∧ x^{i} ≥ 0 ∧ (1 − x)^{n−i} ≥ 0 pro x ∈ ⟨0, 1⟩.Dohromady tedy:

B_{i}^{n}(x) = \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i} ≥ 0, i = 0, …, n.

(3.) Z analýzy víme, že funkce f(x) může mít v bodě x_{0} maximum, je-li f(x_{0})′ = 0 nebo, je-li x_{0} krajním bodem intervalu na kterém extrém hledáme. rozlišme tedy případy: ▶ pro i = 0 : B_{0}^{n}(x) = \binom{n}{0}x^{0}(1 − x)^{n} = (1 − x)^{n}

nabývá maximum na ⟨0, 1⟩ v x = 0 = \frac{0}{n} (klesající funkce),

▶ pro i = n : B_{n}^{n}(x) = \binom{n}{n}x^{n}(1 − x)^{n−n} = x^{n}

nabývá maximum na ⟨0, 1⟩ v x = 1 = \frac{n}{n} (rostoucí fce),

▶ pro i = 1, …, n − 1: v x = 0 a x = 1 je B_{i}^{n}(x) = 0, derivujeme na (0, 1):

(B_{i}^{n}(x))′ = [\binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i}]′ = \binom{n}{i} · [ix^{i−1}(1 − x)^{n−i} − x^{i}(n − i)(1 − x)^{n−i−1}],

\binom{n}{i}x^{i}(1−x)^{n−i} (\frac{i}{x} − \frac{n − i}{1 − x}) = 0 ⟺ \frac{i}{x}−\frac{n − i}{1 − x} = \frac{i − nx}{x(1 − x)} = 0 ⟺ x = \frac{i}{n}, i = 1, …, n−1,

Dohromady B_{i}^{n}(x) nabývá svého maxima v intervalu ⟨0, 1⟩ v bodě \frac{i}{n}, i = 0, …, n. (4.) Podle definice Bernsteinových polynomů stupně n, úpravou a substitucí j = i − 1:

n ; ∑_{i=0}iB_{i}^{n}(x) = n ; ∑_{i=0}i\frac{n!}{(n − i)!i!}x^{i}(1 − x)^{n−i} = n ; ∑_{i=1} \frac{n!}{(n − i)!(i − 1)!}x^{i}(1 − x)^{n−i}

= n · x · n ; ∑_{i=1} \frac{(n − 1)!}{(n − i)!(i − 1)!}x^{i−1}(1 − x)^{n−i} = n · x · n ; ∑_{j=0}\binom{n − 1}{j}x^{j}(1 − x)^{n−1−j},

ale podle vlastnosti (1.) platí n ; ∑_{j=0} \binom{n−1}{j}x^{j}(1 − x)^{n−1−j} = 1, dohromady:

n ; ∑_{i=0}iB_{i}^{n}(x) = n · x · n ; ∑_{j=0}\binom{n − 1}{j}x^{j}(1 − x)^{n−1−j} = n · x.

(5.) Rozepsáním podle definice Bernsteinových polynomů stupně n a úpravou obou stran zvlášť dostáváme:

B_{i}^{n}(x) = \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i}
B_{n−i}^{n}(x) = \binom{n}{n − i}(1 − x)^{n−i} (1 − (1 − x))^{n−(n−i)} = \binom{n}{i}(1 − x)^{n−i}x^{i} = \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i},
tedy, že: B_{i}^{n}(x) = B_{n−i}^{n}(x).

(6.) Podle definice Bernsteinových polynomů stupně n a úpravou \binom{n+1}{i+1} = \binom{n}{i} + \binom{n}{i+1}:

B_{i+1}^{n+1} (x) = \binom{n + 1}{i + 1}x^{i+1} (1 − x)^{n−i} = [\binom{n}{i} + \binom{n}{i + 1}] x^{i+1} (1 − x)^{n−i}

= x · \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i} + (1 − x) · \binom{n}{i + 1}x^{i+1} (1 − x)^{n−i−1}

= xB_{i}^{n}(x) + (1 − x)B_{i+1}^{n} (x).

(7.) Podle definice Bernsteinových polynomů stupně n, derivováním a úpravami: ▶ pro i = 0:

(B_{0}^{n}(x))′ = [\binom{n}{0}x^{0}(1 − x)^{n}]′ = −n(1 − x)^{n−1} = −n\binom{n − 1}{0}x^{0}(1 − x)^{n−1} = −nB_{0}^{n−1}(x)

vztah platí (n.B_{−1}^{n−1} nedefinované položme rovno 0), ▶ pro i = n:

(B_{n}^{n}(x))′ = [\binom{n}{n}x^{n}(1 − x)^{n−n}]′ = nx^{n−1} = n\binom{n − 1}{n − 1}x^{n−1}(1 − x)^{n−1−(n−1)} = nB_{n−1}^{n−1}(x)

vztah platí (−n.B_{n}^{n−1} nedefinované položme rovno 0), ▶ pro 0 ≤ i ≤ n:

(B_{i}^{n}(x))′ = [\binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i}]′ = \binom{n}{i} · [i · x^{i−1}(1 − x)^{n−i} − (n − i) · x^{i}(1 − x)^{n−i−1}]

= \frac{n!}{i!(n − i)!}ix^{i−1}(1 − x)^{n−i} − \frac{n!}{i!(n − i)!}(n − i)x^{i}(1 − x)^{n−1−i}

= \frac{n(n − 1)!}{(i − 1)!(n − 1 − (i + 1))!} x^{i−1}(1 − x)^{n−i} − \frac{n(n − 1)!}{i!(n − 1 − i)!}x^{i}(1 − x)^{n−1−i}

= n\binom{n − 1}{i − 1}x^{i−1}(1 − x)^{n−i} − n\binom{n − 1}{i}x^{i}(1 − x)^{n−1−i} = n · [B_{i−1}^{n−1}(x) − B_{i}^{n−1}(x)].

(8.) Nejprve dokážeme pro i = n:

∫_{0}^{1} B_{n}^{n}(x)dx = ∫_{0}^{1} \binom{n}{n}x^{n}(1 − x)^{0}dx = ∫_{0}^{1} x^{n}dx = [\frac{x^{n+1}}{n + 1} ]^{1}_{0} = \frac{1}{n + 1} .

Uvažme vlastnost (7.) a rovnost, která platí pro derivaci, zintegrujme:

\frac{d}{dx}B_{i}^{n+1} (x) = (n + 1) · [B_{i−1}^{n}(x) − B_{i}^{n}(x)]
\frac{[B_{i}^{n+1} (x)]_{0}^{1}}{n + 1} = [B_{i−1}^{n}(x)]_{0}^{1} − [B_{i}^{n}(x)]_{0}^{1},

ale [B_{i}^{n+1} (x)]_{0}^{1} = [\binom{n+1}{i}x^{i}(1 − x)^{n+1−i} ]_{0}^{1} = \binom{n+1}{i} [1^{i}(1 − 1)^{n+1−i} − 0^{i}(1 − 0)^{n+1−i} ]= 0:

∫_{0}^{1} B_{i−1}^{n}(x) − ∫_{0}^{1} B_{i}^{n}(x) = 0 ⟺ ∫_{0}^{1} B_{i−1}^{n}(x) = ∫_{0}^{1} B_{i}^{n}(x).

Platí-li vztah ∫_{0}^{1} B_{i}^{n}(x)dx = \frac{1}{n+1} pro i, pak tedy platí i pro i − 1 (indukční krok). My ovšem víme, že platí pro i = n. Celkově tedy platí pro i = 0, …, n.