Věta 3.2 Vlastnosti racionálních Bézierových křivkových segmentů 2.\underline{Vlastnosti konvexního obalu:}Křivkový segment leží v konvexním obalu Bézierových bodů. Zejména tedy leží i v konvexním obalu Bézierova polygonálního tahu. Důkaz:

Vycházejme z definice konvexního obalu:

conv(x) = { n ; ∑_{i=0}α_{i}.x_{i} : ∑ α_{i} = 1, α_{1} ≥ 0, x_{i} ∈ x}

Chceme tedy dokázat, že : b(t) ∈ conv(b_{0}, ...., b_{n})

b^{∗}(t) = n ; ∑_{i=0}\binom{β_{i}b_{i}}{β_{i}}.B_{i}^{n}(t) = \binom{b̂^{∗}(t)}{b̂^{∗}(t)}

Tedy : b^{∗}(t) ∈ conv.(\binom{β_{0}b_{o}}{β_{o}}, ......, \binom{β_{n}b_{n}}{β_{n}})

b̂^{∗}(t) ∈ conv.(β_{i}b_{i})

b̂^{∗}(t) = n ; ∑_{i=0}α_{i}.β_{i}.b_{i}, ∑ α_{i} = 1, α_{i} ≥ 0

b̂^{∗}(t) = n ; ∑_{i=0}α_{i}.β_{i}

b(t) = \frac{b̂^{∗}(t)}{b̂^{∗}(t)} = \frac{n ; ∑_{i=0}α_{i}.β_{i}.b_{i}}{n ; ∑_{j=0} α_{j}.β_{j}} = n ; ∑_{i=0}_{\frac{α_{i}.β_{i}}{n ; ∑_{j=0} α_{j}.β_{j}}} .b_{i}

Ale : \frac{n ; ∑_{i=0}α_{i}.β_{i}}{n ; ∑_{j=0}α_{j}.β_{j}} = 1

A tím je důkaz hotov

\underline{3.Vliv kontrolních bodů:}Vliv kontrolních bodů b_{i} má největší vliv na b(t) v případě, že t = i/n.

Ovšem tvrzení neplatí. Důkaz neplatnosti:

Bézierův křivkový segment je tvaru: n ; ∑_{j=0} \binom{β_{j}b_{j}}{β_{j}}.B_{j}^{n}(t)

Jeho projekcí dostávám výraz : \frac{n ; ∑_{j=0} β_{j}.b_{j}.B_{j}^{n}(t)}{n ; ∑_{i=0}β_{i}B_{i}^{n}(t)}

Úpravou dostáváme výraz:_{\frac{β_{j}.B_{j}^{n}(t)}{n ; ∑_{i=0}β_{i}.B_{i}^{n}(t)}}.b_{j}

Maximum záleží pouze na výrazech, kde se vyskytuje t, tedy výraz β_{j} můžeme vynechat a výraz B_{j}^{n}(t) dát do jmenovatele a potom hledáme maximum výrazu:

\frac{1}{n ; ∑_{i=0}β_{i}.\binom{n}{i}.t^{i−j}.(1−t)^{n−i−(n−j)}} = _{\frac{1}{n ; ∑_{i=0}β_{i}.\binom{n}{i}.( \frac{t}{1−t})^{i−j}}}

Tedy hledám minimum výrazu : n ; ∑_{i=0}β_{i}.\binom{n}{i}.(\frac{t}{1−t})^{i−j}

0 <^{t→0} \frac{t}{1−t} <^{t→1} ∞

Označíme si \frac{t}{1−t} jako α a výraz zderivujeme podle α a položíme roven 0, abychom zjistili extrém (minimum) :

n ; ∑_{i=0}β_{i}.\binom{n}{i}.(i − j).α^{i−j−i} = 0

Existuje α_{0}, pro které je f(α_{0}) rovna nule: i = j → 0 j > i → − j < i → + A existuje jediné, neboť funkce je spojitá a rostoucí. j = 0 :

β_{i} = \frac{1}{\binom{n}{i}} ; f(α) = \frac{1}{α} + α + 1 ; f(α) = −\frac{1}{α^{2}} + 1 ⇒

−\frac{1}{α^{2}} + 1 = 0 α^{2} = 1, α = 1, α ∈ (0, ∞) Dosadíme za α : α = \frac{t}{1−t} ⇒ 1 = 2t ⇒ t = \frac{1}{2} Tedy pro j = 1 věta platí. Ale zkusme jinou volbu: β_{o} = \frac{1}{2}, β_{1} = \frac{1}{2}, β_{2} = 2 : f(α) = \frac{1}{2}α + 2α + 1 f(α) = −\frac{1}{2}α^{2} + 2 − \frac{1}{2}α^{2} + 2 = 0 ⇒ α^{2} = \frac{1}{4} ⇒ α = \frac{1}{2} α = \frac{t}{1−t} ⇒ t = \frac{1}{3} Tedy obecně se t nerovná i/n.