![](../ext04.png)
Hledáme absolutní extrémy funkce na množině
M:
![](ext04_1.png)
. Absolutní extrém může nastat buď v bodech lokálního extrému ležícího uvnitř množiny
M nebo v bodech na hranici množiny. Lokální extrém může nastat v bodech, kde neexistuje parciální derivace nebo ve stacionárních bodech. Protože funkce je polynom ve dvou proměnných, má v každém bodě parciální derivaci. Stacionární body jsou určeny soustavou rovnic
Dostáváme bod [0, 0], který leží v oblasti
M, ale
D(0,0)=0. O existenci extrému v tomto bodě rozhodneme úvahou. Podíváme se na funkci v okolí bodu [0, 0]. Funkční hodnota v tomto bodě je 0. Pokud se k bodu budeme blížit ze směru
y =
x, sledujeme chování výrazu
![](ext04_6.png)
. Ten je pro všechna
x s výjimkou nuly kladný, funkce v tomto směru tedy stoupá nad funkční hodnotu. Pokud se k bodu [0, 0] blížíme ze směru
y = -
x, sledujeme chování výrazu
![](ext04_7.png)
. Ten je pro všechna
x s výjimkou nuly záporný. V libovolném okolí bodu [0, 0] funkce nabývá jak hodnot kladných, tak záporných, extrém v něm nenastává, je tam sedlový bod.
Vyšetříme tedy hranici množiny
![](ext04_3.png)
. Dosazením
![](ext04_4.png)
do předpisu funkce získáme funkci jedné proměnné
![](ext04_8.png)
. Problém se redukuje na nalezení absolutních etrémů funkce jedné proměnné na intervalu <-1, 1>. Ty mohou nastat v bodech, kde je první derivace nulová, nebo v krajních bodech intervalu. Z podmínky
dostáváme
![](ext04_10.png)
. Funkční hodnota v těchto bodech je
![](ext04_11.png)
. Pokud srovnáme s funkční hodnotou v krajních bodech intervalu
![](ext04_12.png)
, vidíme, že extrémy nastávají v bodech
![](ext04_10.png)
. Z původního předpisu funkce dopočteme
y-ové souřadnice. Pro
![](ext04_10.png)
je
![](ext04_13.png)
.
Dosazením
![](ext04_5.png)
do předpisu funkce vyšetříme druhou polovinu množiny
. Postup je analogický, nebudeme ho zde uvádět.
Celkově obdržíme:
|
|
|
Plocha s vyznačenou množinou M |
|
Vrstevnice funkce, množina M a body, ve kterých nastává extrém. |