\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[IL2]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks=true,
	linkcolor=blue
}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{lmodern}

\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{mathdots}

\setlist[enumerate]{font=\bfseries}

% v podstate kazda nova (sub)sekce na novou stranku
% https://tex.stackexchange.com/a/108381/173662
\usepackage{titlesec}
\newcommand\sectionbreak{\ifnum\value{section}>1\clearpage\fi}
\newcommand\subsectionbreak{\ifnum\value{subsection}>1\clearpage\fi}

\newcommand{\currentYear}{1. ročník MO (1951/1952)}

\title{\currentYear}
\date{}

\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{#1}{}}
\lhead{\leftmark}
\rhead{\textsl{\currentYear}}
\cfoot{\thepage}


\begin{document}

	\maketitle
	\tableofcontents


	\newpage
	\section{kategorie A}

		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					Jaký je vztah mezi úhly $\alpha,\beta,\gamma,$ platí-li
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								buď $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2},$

							\item
								nebo $\tan2\alpha + \tan2\beta + \tan2\gamma = \tan2\alpha \tan2\beta \tan2\gamma?$
						\end{enumerate}

				\item
					Jsou-li $p_1,p_2,q_1,q_2$ reálná čísla splňující $p_1p_2=2\left(q_1+q_2\right),$ pak alespoň jedna z rovnic
						\begin{align*}
							x^2+p_1x+q_1 &= 0, \\
							x^2+p_2x+q_2 &= 0
						\end{align*}
					má reálné kořeny. Dokažte.

				\item
					Sestrojte čtyřúhelník $ABCD,$ jsou-li dány velikosti úseček $AB,AC,BD,CD$ a přímky $p\parallel AC, q\parallel BD.$ Proveďte diskuzi.

				\item
					Jsou dány dvě různoběžky $p,p'$ a na nich dva různé body $A\in p,A'\in p'.$ Určete body $M\in p,M'\in p'$ tak, aby platilo $|AM|=|A'M'|$ a aby úsečka $MM'$ měla danou velikost $d.$ Proveďte diskuzi.

				\item
					Buď $n$ přirozené číslo a $x_1,\ldots,x_n$ čísla reálná. Dokažte, že když platí
						\[
							n\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right) = \left(x_1+\cdots+x_n\right)^2,
						\]
					pak je nutně $x_1=\cdots=x_n.$

				\item
					Dokažte, že pro všechna reálná $x,y,z$ platí
						\[
							x+y+z\leq\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}
						\]
					a určete, kdy nastává rovnost.

				\item
					Úsečka $AB$ velikosti $d$ se pohybuje tak, že její krajní body zůstávají na dvou pevných navzájem kolmých přímkách. Co při tomto pohybu vyplní bod $X$ přímky $AB,$ jehož dělicí poměr $(ABX)$ je roven danému číslu $\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}?$ Může být křivka opsaná bodem $X$ kružnice? Jsou mezi křivkami opsanými bodem $X$ dvě podobné nebo shodné?

				\item
					Jsou dány přímky $p,q,r$ a množina čtverců takových, že jeden vrchol každého čtverce leží na přímce $p,$ druhý na přímce $q$ a třetí na přímce $r.$ Dokažte, že čtvrté vrcholy také leží na jedné přímce.

					Užitím předchozího výsledku sestrojte čtverec $ABCD,$ jehož vrchol $A$ leží na dané přímce $a,$ vrchol $B$ na dané přímce $b,$ vrchol $C$ na dané přímce $c$ a vrchol $D$ na dané přímce $d.$ Proveďte diskuzi.

				\item
					Pro které hodnoty nezávisle proměnné $x$ nabývá lomená lineární funkce
						\[
							y=\frac{ax+b}{cx+d}
						\]
					hodnoty $x?$ Proveďte diskuzi vzhledem k různým hodnotám koeficientů $a,b,c,d.$

				\item
					Buďte $A,O,B$ tři různé body svislé roviny, která protne vodorovnou rovinu jdoucí bodem $O$ v přímce $KOL.$

					Po polopřímkách $AO,BO$ se pohybují směrem k $O$ body vlivem tíže zemské bez tření; jeden je bod $M,$ jehož výchozí polohou je bod $A,$ druhý je bod $N$ s počáteční polohou v bodě $B.$

					Určete čas, v němž bude přímka $MN$ vodorovná a proveďte diskuzi o existenci řešení. Body $M,N$ se začnou ze svých výchozích poloh pohybovat současně.

				\item
					Dokažte, že pro celé $n>1$ platí
						\[
							\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1.
						\]

				\item
					Buď $ABCD$ čtverec. Uvnitř strany $AB$ zvolme $m$ různých bodů a veďme jimi rovnoběžky se stranou $BC.$ Podobně uvnitř strany $BC$ zvolme $n$ různých bodů a veďme jimi rovnoběžky ke straně $AB.$ Kolik různých pravoúhelníků vzniklo provedenou konstrukcí?

				\item
					Pro která přirozená čísla $n$ je možno zlomek $\frac{n^2+4n+6}{n \left(n^4-1\right)}$ vyjádřit desetinným rozvojem
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								ukončeným,

							\item
								ryze periodickým,

							\item
								periodickým s předperiodou?
						\end{enumerate}

				\item
					Je dána posloupnost $\left(a_n/b_n\right)_{n=1}^\infty,$ přičemž platí $a_{n+1}=3a_n+4b_n,b_{n+1}=2a_n+3b_n,$ a $a_1,b_1$ jsou kladná čísla.
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								Vyjádřete $a_n^2-2b_n^2$ pomocí $a_1,b_1.$

							\item
								Dokažte, že $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\sqrt{2}.$
						\end{enumerate}

				\item
					V rovině $\rho$ jsou dány dva body $A,B$ a dva konvexní nepřímé úhly $\alpha, \beta.$ Bod $X$ roviny $\rho$ otočíme jednak kolem středu $A$ o úhel $\alpha$ v daném smyslu do polohy $X',$ jednak kolem bodu $B$ o úhel $\beta$ v daném (stejném nebo opačném) smyslu do polohy $X''.$ Co vyplní všechny ty body $X,$ pro něž má úsečka $X'X''$ danou velikost $d>0?$

				\item
					Je dán pravoúhelník $ABCD$. Z bodu $M$ jeho roviny spustíme kolmice na přímky dané jeho stranami a označíme paty těchto kolmic $P\in\overleftrightarrow{AB}, Q\in\overleftrightarrow{CD}, R\in\overleftrightarrow{AD}, S\in\overleftrightarrow{BC}$ (tedy $AB\perp PQ\perp CD$ a $BC\perp RS\perp AD$).
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								Určete geometrické místo průsečíků přímek $PR,QS$ a přímek $PS,QR.$

							\item
								Určete všechny body $M$ v rovině, které vedou k jednomu a témuž bodu nalezeného geometrického místa.
						\end{enumerate}

			\end{enumerate}

		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					Jestliže je číslo $n$ celé, potom i výraz
						\[
							V=\frac{n^5}{120}-\frac{n^3}{24}+\frac{n}{30}
						\]
					je celé číslo. Dokažte.

				\item
					Dokažte, že číslo $11^{100}-1$ končí skupinou číslic 6000.

				\item
					Sestrojte tětivový čtyřúhelník $ABCD,$ jestliže jsou dány velikosti $a,b,c,d$ jeho stran.

				\item
					Rovina je pokryta sítí shodných rovnostranných trojúhelníků. Dokažte, že neexistuje čtverec, jehož všechny vrcholy leží ve vrcholech sítě.
			\end{enumerate}

		\subsection{Úlohy III. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					Jsou-li $a,b,c$ kladná racionální čísla splňující
						\[
							\sqrt a+\sqrt b=c.
						\]
					Dokažte, že $\sqrt a,\sqrt b$ jsou rovněž racionální.

				\item
					Tabulka čísel
						\[
							\begin{matrix}
								& & & a_{1} & b_{1} & c_{1} & & & \\
								& & a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} & e_{2} & & \\
								& a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} & e_{3} & f_{3} & g_{3} & \\
								\iddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
							\end{matrix}
						\]
					je sestavena takto: první řádek obsahuje tři lichá čísla. Každé číslo dalších řádků je rovno součtu tří sousedních čísel předcházejícího řádku, z nichž prostřední je nad uvažovaným číslem; schází-li v tabulce některé z těchto tří čísel, doplní se nulou. Dokažte, že počínaje druhým řádkem každý řádek obsahuje aspoň jedno sudé číslo.

				\item
					Budiž $ABCD$ konvexní různoběžník, v němž $|AB|=|CD|.$ Označme $R,S$ středy stran $AD,BC.$ Sestrojte polopřímky $AU,DV$ souhlasně rovnoběžné s polopřímkou $RS.$ Dokažte, že $|\sphericalangle BAU|=|\sphericalangle CDV|.$

				\item
					Rozměry obdélníka $ABCD$ jsou přirozená čísla $p,q;$ obdélník je rozdělen na $pq$ jednotkových čtverců. Určete počet těch jednotkových čtverců, jejichž vnitřkem prochází úhlopříčka $AC.$

			\end{enumerate}


	\section{kategorie B}

		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					Řešte soustavu rovnic
						\begin{align*}
							x_1+x_2 &= a_1, \\
							x_2+x_3 &= a_2, \\
							x_3+x_4 &= a_3, \\
							&\ \vdots \\
							x_{n-1}+x_n &= a_{n-1}, \\
							x_n+x_1 &= a_n,
						\end{align*}
					s parametry $a_1,\ldots,a_n.$

				\item
					V rovině jsou dány čtyři různé body $A,B,S,O.$ Sestrojte kružnici $k_1$ procházející body $A,B$ a kružnici $k_2$ se středem $S$ tak, aby bod $O$ byl středem jejich stejnolehlosti. Proveďte diskuzi.

				\item
					Dokažte, že rovinný obrazec souměrný podle dvou různých středů není ohraničený (tj. neleží v žádném kruhu).

				\item
					Dokažte, že
						\[
							\frac{1}{2}\leq 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+ \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}<1,
						\]
					kde $n$ je přirozené číslo.

				\item
					Je dána kružnice $k,$ na ní bod $A,$ dále kružnice $k'$ téhož poloměru a na ní bod $A'.$ Udejte otáčení, které převádí kružnici $k$ v $k'$ a bod $A$ v $A'.$ Proveďte diskuzi.

				\item
					Buď $n$ přirozené číslo. Kolik existuje mezi čísly $n^2 $ a $(n+2)^2$ přirozených čísel, z nichž žádné není druhou mocninou přirozeného čísla?

				\item
					Buďte $a,b,c$ nenulová čísla splňující
						\[
							\frac1a + \frac1b + \frac1c = 0.
						\]
					Dokažte, že rovnost
						\[
							(ay-bx)^2 + (bz-cy)^2 + (cx-az)^2 = (ay+bz+cx)^2 + (az+bx+cy)^2
						\]
					platí pro libovolná $x,y,z.$

				\item
					Kovové kusy každý o váze asi 170 kg a tvaru velmi přibližně kvádru o rozměrech 20 cm, 30~cm, 35 cm byly po čtyřech dávány do beden ze smrkového dřeva o tloušťce 2 cm a posílány autem na místa určení. Truhlárna, která vyrábí bedny, chce zvýšit produktivitu a uspořit materiál. Jak zařídíte uskladnění kusů do beden, aby spotřeba dříví na bedny na kus klesla a počet balených kusů stoupl, když může z dopravních důvodů jedna bedna vážit nejvýše 1200 kg? Kterou abstraktní matematickou úlohu můžete položit a řešit na základě uvedené konkrétní praktické úlohy?

				\item
					Na obvodu trojúhelníka $ABC$ zvolme dva různé body $M,N.$ Dokažte, že úsečka $MN$ není větší než největší ze stran $AB,BC,CA.$

				\item
					Sestrojte dva trojúhelníky, které nejsou shodné, ale u nichž pět základních prvků (tj. stran a úhlů) jednoho je rovno pěti základním prvkům druhého.

				\item
					Pro která přirozená čísla $n$ je výraz $\frac{n-37}{n+43}$ roven druhé mocnině racionálního čísla?

				\item
					Dokažte: jsou-li $a,b,c$ kladná čísla, pak platí
						\[
							\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}\ge\frac32.
						\]

				\item
					Nechť je $N$ přirozené číslo psáno v desítkové soustavě ve tvaru
						\[
							a_0+a_1\cdot10+a_2\cdot10^2+\cdots+a_n\cdot10^n,
						\]
					kde $a_0,\ldots,a_n$ jsou číslice. Utvořme čísla
						\begin{align*}
							b_1&=a_1-2a_0, \\
							b_2&=a_2-2b_1, \\
							b_3&=a_3-2b_2, \\
							&\ \vdots \\
							b_n&=a_n-2b_{n-1}.
						\end{align*}
					Dokažte, že $N$ je dělitelné sedmi právě tehdy, když je dělitelné sedmi číslo $b_n.$

				\item
					U dvou hmotných koulí, které se nedotýkají a mají pevnou vzájemnou polohu, byla měřením zjištěna jejich nejmenší vzdálenost $a,$ velikost vnější tečny $t$ a velikost vnitřní tečny $u.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								Vyjádřete vzdálenost středů koulí a jejich poloměry v závislosti na veličinách $a,t,u.$

							\item
								Jaká je podmínka pro to, aby se poloměry koulí lišily nejvýše o úsečku délky $d?$
						\end{enumerate}

				\item
					Jsou dány body $A,A'$ a $B\neq A.$ Otáčení, které převede bod $A$ v bod $A',$ převede bod $B$ v jistý bod $B'.$ Co vyplní body $B',$ které dostaneme všemi takovými otáčeními?

				\item
					Budiž $D$ průsečík osy úhlu $CAB$ trojúhelníka s jeho stranou $BC.$ Budiž dále $DE$ rovnoběžka vedená bodem $D$ k přímce $CA$ a $E$ její průsečík se stranou $AB;$ budiž konečně $EF$ rovnoběžka vedená bodem $E$ k přímce $BC$ a $F$ její průsečík se stranou $CA.$ Dokažte, že platí
						\[
							|AF|=|AC|-|AE|.
						\]

			\end{enumerate}

		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					Jsou dány dvě různé přímky $p,q$ a bod $A.$ Každé otáčení, které převádí přímku $p$ v přímku $q,$ převádí bod $A$ v jistý bod $A'.$ Co vyplní všechny tyto body $A'$?

				\item
					Najděte všechna čtyrciferná čísla $aabb$ (kde $a\neq0$ a $b$ jsou arabské cifry), která jsou čtverci celého čísla.

				\item
					Dokažte, že pro všechna reálná čísla $a,b$ platí
						\begin{align*}
							\left(a^2+b^2\right)ab\leq a^4+b^4.
						\end{align*}
					Rozhodněte, kdy nastává rovnost.

				\item
					Čtyřstěn $MNPQ$ má nejdelší hranu délky $d.$ Dokažte, že pro každé dva body $A,B$ na povrchu čtyřstěnu platí nerovnost $|AB|\leq d.$

			\end{enumerate}



\end{document}
