\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[IL2]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks=true,
	linkcolor=blue
}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{lmodern}

\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{enumitem}

\setlist[enumerate]{font=\bfseries}

% v podstate kazda nova (sub)sekce na novou stranku
% https://tex.stackexchange.com/a/108381/173662
\usepackage{titlesec}
\newcommand\sectionbreak{\ifnum\value{section}>1\clearpage\fi}
\newcommand\subsectionbreak{\ifnum\value{subsection}>1\clearpage\fi}

\newcommand{\currentYear}{2. ročník MO (1952/1953)}

\title{\currentYear}
\date{}

\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{#1}{}}
\lhead{\leftmark}
\rhead{\textsl{\currentYear}}
\cfoot{\thepage}


\begin{document}

	\maketitle
	\tableofcontents


	\newpage
	\section{kategorie A}

		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					Jsou-li $m,n$ kladná celá čísla, ukažte, že číslo $\sqrt{2}$ leží mezi čísly
						\[
							\frac{m}{n},\quad\frac{m+2n}{m+n}.
						\]

				\item
					Obrazy komplexních čísel $0,z_1,z_2$ tvoří v rovině komplexních čísel trojúhelník, který stručně označme $OZ_1Z_2.$ Určete komplexní čísla, jejichž obrazy jsou vrcholy pravidelného šestiúhelníka sestrojeného nad stranou $Z_1Z_2$ a ležícího v polorovině $Z_1Z_2O.$

				\item
					Buďte $A',B',C',D'$ paty kolmic spuštěných po řadě z vrcholů $A,B,C,D$ čtyřstěnu $ABCD$ vždy na rovinu jeho protější stěny.
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								Bod $A'$ leží na kolmici $BH$ spuštěné v rovině $BCD$ z bodu $B$ k přímce CD (přičemž $H$ je příslušná pata) právě tehdy, když $AB\perp CD.$ Dokažte.

							\item
								Dokažte, že pokud bod $A'$ splývá s průsečíkem výšek trojúhelníku $BCD,$ potom i body $B',C',D'$ splynou po řadě s průsečíky výšek trojúhelníků $CDA,DAB,ABC.$ Co pak platí o přímkách $AA',BB',CC',DD'?$
						\end{enumerate}

				\item
					Je dán rovnostranný trojúhelník $ABC.$ Budiž $A_1B_1C_1$ trojúhelník stejnolehlý s trojúhelníkem $ABC$ podle středu $A$ s koeficientem stejnolehlosti $\lambda>1.$ Dále $A_2B_2C_2$ je trojúhelník osově souměrný s trojúhelníkem $A_1B_1C_1$ podle přímky $BC$. Určete konstrukčně i početně,
					který bod trojúhelníka $ABC$ přejde po obou operacích na své původní místo.

				\item
					Komplexní číslo $z$ vyhovuje rovnici
						\[
							az+b\bar{z}+c=0,
						\]
					kde $a,b,c$ jsou daná komplexní čísla. Co vyplňují obrazy všech takových čísel $z$ v rovině komplexních čísel?

				\item
					Buďte $a,b,c,d$ racionální čísla a $u$ číslo iracionální. Dokažte, že je číslo
						\[
							\frac{au+b}{cu+d}
						\]
					racionální právě tehdy, když $ad-bc=0.$

				\item
					Budiž dán trojúhelník $ABC;$ dále buďtež $M,N,P$ body, které leží uvnitř stran $BC,CA,AB,$ a to tak, že $MN\parallel AB,MP\parallel AC.$ Zvolme bod $M$ tak, aby platil vztah
						\[
							|MN|+|MP|=k,
						\]
					kde $k>0$ je dané číslo. Proveďte diskuzi za předpokladu, že $|AB|\leq|AC|,$ a stanovte, kterou podmínku musí splňovat číslo $k,$ aby měla úloha řešení.

				\item
					Dokažte, že pro daný čtyřstěn $ABCD$ existuje kulová plocha dotýkající se všech jeho hran (tj. každá z šesti přímek určená vrcholy čtyřstěnu je tečnou kulové plochy s dotykem uvnitř stran) právě tehdy, když
						\[
							|AB|+|CD|=|AC|+|BD|=|AD|+|BC|.
						\]

				\item
					Nádržka má tvar rotačního kuželu spočívajícího podstavou na vodorovné rovině; její objem je $V_0$ litrů a výška $u$ decimetrů. Při plnění nateče do nádržky $a$ litrů za sekundu. Vyjádřete vzdálenost vodní hladiny od vrcholu kužele po $q$ sekundách, kde $q$ je kladné raciolnální číslo.

				\item
					Jsou dána dvě komplexní čísla $a,b,$ přičemž $|a|=1.$ Jestliže pro komplexní čísla $z,z'$ platí vztah
						\[
							z'=az+b,
						\]
					potom $z'$ vznikne z obrazu čísla $z$ otáčením, je-li $a\neq1;$ a posunutím, je-li $a=1,b\neq0.$ Dokažte a určete střed otáčení, resp. vektor posunutí.

				\item
					Budiž dán trojúhelník $ABC.$ Nechť jsou $A',B',C'$ takové body roviny, že platí
						\[
							|AB'|=|AC'|,\quad |BC'|=|BA'|,\quad |CA'|=|CB'|.
						\]
					Označme $a',b',c'$ přímky roviny, které postupně procházejí body $A',B',C',$ přičemž platí
						\[
							a'\perp BC,\quad b'\perp CA,\quad c'\perp AB.
						\]
					Dokažte, že přímky $a',b',c'$ procházejí jedním bodem.

				\item
					Označme $P$ počátek soustavy pravoúhlých souřadnic. Body s oběma souřadnicemi celočíselnými nazveme \textsl{mřížovými}. Budiž $p>2$ dané liché číslo. Označme $A_k$ ty mřížové body $[p,k],$ kde $k\in\{0,\ldots,p\},$ a uvažme trojúhelníky
						\[
							PA_1A_2,PA_2A_3,PA_3A_4,\ldots,PA_{p-2}A_{p-1}.
						\]
					Dokažte, že $p$ je prvočíslo právě tehdy, když je počet mřížových bodu uvnitř každého z uvažovaných trojúhelníků roven $(p-1)/2.$

				\item
					Buďte $[x,y]$ body v rovině pravoúhlých souřadnic. Určete, pro které z nich platí nerovnost
						\[
							\bigl||x+a|-|y-a|\bigr|<a,
						\]
					kde $a$ je dané reálné číslo. Vyznačte v rovině souřadnic ty její části, pro jejichž body je splněna daná nerovnost.

				\item
					Dokažte s použitím komplexních čísel, že složením dvou otáčení s různými středy vznikne otáčení nebo posunutí. Určete střed výsledného otáčení, resp. vektor výsledného posunutí. Určete podmínky, kdy je složení otočení a kdy posunutí.

				\item
					Dokažte, že pro každé kladné $a$ a libovolné přirozené $n$ platí
						\[
							n\left(a^{2n+1}+1\right)\geq a+a^2+a^3+\cdots+a^{2n-1}+a^{2n}.
						\]
					Určete, pro která $a$ nastane rovnost.

				\item
					Dokažte, že číslo $2^{12n+8}-3^{6n+2}$ je dělitelné třinácti pro každé celé nezáporné $n.$

			\end{enumerate}

		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					Dokažte, že číslo $a_n=2^{n+1}+5^n$ není prvočíslem pro žádné přirozené číslo $n.$

				\item
					Dána jsou kladná čísla $a_1,\ldots,a_{10},b_1,\ldots,b_5$ všechna menší než 7 a žádné z nich není celé. Dokažte, že mezi padesáti body $[a_i,b_j],$ kde $i\in\{1,\ldots,10\}$ a $j\in\{1,\ldots,5\},$ existují alespoň dva takové,  jejichž vzdálenost je menší než $\sqrt2.$

				\item
					Zjistěte, který útvar je analyticky vyjádřen vztahem
						\[
							|ax+by|+|y|\leq c,
						\]
					kde $x,y$ jsou pravoúhlé souřadnice bodu v rovině a $a,b,c$ jsou daná kladná čísla.

				\item
					Je dán čtyřstěn $VABC.$ Označme $\rho$ rovinu jeho stěny $ABC.$ Uvnitř hran $VA,VB,VC$ zvolme po řadě body $X,Y,Z$ tak, aby rovina $\sigma$ určená těmito body byla rovnoběžná s rovinou $\rho.$ Označme dále $X_1,Y_1,Z_1$ po řadě středy úseček $YZ,ZX,XY.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								Dokažte, že se úsečky $AX_1,BY_1,CZ_1$ protínají v jednom bodě. Označme jej $S.$

							\item
								Co vyplní všechny body $S,$ když bod $X$ probíhá vnitřek úsečky $VA?$
						\end{enumerate}

			\end{enumerate}

		\subsection{Úlohy III. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					V rovině komplexních čísel určete útvar, který vyplní obrazy čísel $z$ vyhovující vztahu
						\[
							z+\bar{z}=a\cdot|z|,
						\]
					kde $a$ je dané reálné číslo. Proveďte diskuzi pro všechny hodnoty čísla $a.$

				\item
					Nechť $\alpha,\beta,\gamma$ jsou úhly trojúhelníka. Dva z nich jsou vyjádřené pomocným úhlem $\varphi$ tak, že
						\[
							\alpha = \varphi + \frac{\pi}{4},\quad\beta = \pi - 3\varphi.
						\]
					Dokažte, že potom $\alpha>\gamma.$

				\item
					Jsou-li $a_1,\ldots,a_n$ kladná čísla, pak platí
						\[
							\left(a_1+\cdots+a_n\right) \left(\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right) \ge n^2.
						\]
					Dokažte a určete, kdy nastává rovnost.

				\item
					Jsou dány mimoběžky $a,b$ a rovina $\rho,$ která je různoběžná s oběma přímkami $a,b.$ Zvolme body $X\in a$ a $Y\in b$ tak, aby $XY\parallel\rho.$ Jaký geometrický útvar vyplní střed $S$ úsečky $XY,$ probíhá-li bod $X$ přímkou $a?$

			\end{enumerate}


	\section{kategorie B}

		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					V dílně pracuje $a$ (stejně výkonných) dělníků, kteří mají dokončit určitou zakázku. Skupina $m$ dělníků vytvoří úderku a zaváží se, že lepší organizací práce zvýší svůj výkon o 10 \%. Stalo se tak po $p$ dnech práce na zakázce. O kolik dní se zmenší původně plánovaná doba $d$ dní, potřebná k provedení zakázky?

				\item
					\begin{enumerate}[font=\normalfont]
						\item
							Dokažte, že každé prvočíslo $p>3$ lze psát ve tvaru $6n\pm1,$ kde $n$ je vhodné přirozené číslo. Platí také obrácené tvrzení?

						\item
							Užitím předchozího výsledku dokažte, že zmenšíme-li čtverec libovolného prvočísla $p>3$ o jedna, dostaneme číslo dělitelné číslem 24.
					\end{enumerate}

				\item
					Je dána kružnice $k$ a její tětiva $AB,$ která není průměrem. Buď $p$ sečna této kružnice kolmá k přímce $AB.$ Najděte ta přímce $p$ bod $X$ takový, aby byl konvexní nepřímý úhel $\sphericalangle AXB$ co největší. Proveďte diskuzi.

				\item
					Buď $AA'BC$ čtyřstěn takový, že je hrana $AA'$ kolmá na rovinu $A'BC.$ Dokažte, že je-li $|\sphericalangle BAC|\ge 90^\circ,$ pak $|\sphericalangle BA'C|>90^\circ.$

				\item
					Dokažte:
					\begin{enumerate}[font=\normalfont]
						\item
							je-li zlomek $\frac ab$ v základním tvaru, pak jsou v základním tvaru také zlomky $\frac{a\pm b}{ab};$

						\item
							součet tří zlomků v základním tvaru nemůže být celočíselný, jestliže není každý prvočinitel jednoho z daných jmenovatelů prvočinitelem alespoň jednoho ze zbývajících dvou jmenovatelů.
					\end{enumerate}

				\item
					Označme
						\[
							x=\frac{a}{b+c},\quad y=\frac{b}{c+a},\quad z=\frac{c}{a+b},
						\]
					kde $a,b,c$ jsou daná reálná čísla. Určete, za jakých předpokladů platí
						\[
							xy+yz+zx+2xyz=1.
						\]

				\item
					Určete geometrické místo průsečíků $V$ výšek v trojúhelnících $ABC,$ jestliže je dána poloha strany $BC,$ velikost úhlu $|\sphericalangle CAB|=\alpha$ a jestliže vrcholy $A$ těchto trojúhelníků leží v jedné z obou opačných polorovin vyťatých přímkou $BC.$ Proveďte diskuzi pro $\alpha>90^\circ,\alpha=90^\circ$ a~$\alpha<90^\circ.$

				\item
					Budiž $V$ průsečík výšek trojúhelníka $ABC.$ Dokažte, že jestliže $|CA|<|AB|,$ pak
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								$|VC|<|VB|,$

							\item
								vzdálenost bodu $V$ od strany $CA$ je menší než od strany $AB$ s výjimkou případu, kde $|\sphericalangle CAB|=90^\circ.$ Jak je tomu v tomto výjimečném případě?
						\end{enumerate}
					Proveďte diskuzi pro trojúhelník ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý.

				\item
					Buďte $ABCD, A'B'C'D'$ protilehlé strany krychle (přičemž $AA',BB',CC',DD'$ jsou hrany této krychle). Dokažte, že je-li vnitřní bod krychle $X$ blíže k vrcholu $B,$ než ke všem ostatním, potom je bod $X$ dále od vrcholu $D',$ než od kteréhokoli z ostatních vrcholů.

				\item
					K očíslování všech svazků určité knihovny bylo potřeba na hřbety knih natisknout třikrát více tolik cifer, než kolik je svazků. Kolik svazků měla knihovna?

				\item
					Stanovte geometrické místo bodů, pro něž je absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od dvou daných různoběžek $a,b$ rovna danému číslu $d\ge0.$

				\item
					Jsou-li $a,b,c$ kladná čísla, pak
						\[
							\frac ab + \frac bc + \frac ca\ge3.
						\]
					Dokažte a určete, kdy nastává rovnost.

				\item
					Dokažte, že pro každé přirozené číslo $n$ platí
						\[
							\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n}{(n+1)!}<1.
						\]

				\item
					Jsou-li $a,b,c$ reálná čísla, pak
						\[
							(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2\ge ab+bc+ca.
						\]
					Dokažte a určete, kdy nastává rovnost.

				\item
					Určete, co vyplňují za útvar středy všech rovnoběžníků, které jsou rovinnými řezy daného čtyřstěnu.

				\item
					Budiž dán rovnostranný trojúhelník $ABC$ o straně velikosti $a.$ Buďte $M,N,P$ body zvolené po řadě uvnitř úseček $BC,CA,AB.$

					Dokažte nejprve, že je možné zvolit body $M,N,P$ (různé od středů stran) tak, že $MNP$ je rovnostranný trojúhelník. Potom sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky $MNP$ takové, aby jejich strany měly danou velikost $m.$ Diskutujte, pro která $m$ má úloha řešení.


			\end{enumerate}

		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item
					Mějme libovolné přirozené číslo $n$ a kladná čísla $a_1,\ldots,a_{n+1},$ která nejsou větší než jedna. Dokažte, že mezi nimi existují alespoň dvě taková, že absolutní hodnota jejich rozdílu je menší než $\frac1n.$

				\item
					Buďte dány dvě stejně dlouhé, na sebe kolmé úsečky $AB,AC.$ Označme $X$ bod ležící uvnitř úsečky $AB$ a $Y$ bod ležící uvnitř úsečky $AC;$ buď $Z$ střed úsečky $XY.$

					Probíhá-li bod $X$ vnitřek úsečky $AB,$ bod $Y$ vnitřek úsečky $AC,$ patří bod $Z$ určitému geometrickému útvaru, jehož každý bod je střed některé z úseček $XY;$ určete tento útvar.

				\item
					Dokažte, že pokud pro reálná čísla $a,b,c,d$ platí
						\[
							ac+bd>ad+bc,
						\]
					potom je buď $a>b,c>d,$ anebo $a<b,c<d.$ Je možné toto tvrzení obrátit?


				\item
					Jsou dány dvě různé rovnoběžky $m,n;$ uvnitř pásu jimi určeného jsou dány dva různé body $K,L.$

					Sestrojte kosočtverec $ABCD$ mající tyto vlastnosti
						\begin{itemize}
							\item
								body $A,B$ leží na přímce $m,$

							\item
								body $C,D$ na přímce $n,$

							\item
								bod $K$ na přímce $AD$ a bod $L$ na přímce $BC.$
						\end{itemize}
					Proveďte diskuzi řešitelnosti.

			\end{enumerate}



\end{document}
