\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[IL2]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks=true,
	linkcolor=blue
}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{enumitem}

\setlist[enumerate]{font=\bfseries}

% v podstate kazda nova (sub)sekce na novou stranku
% https://tex.stackexchange.com/a/108381/173662
\usepackage{titlesec}
\newcommand\sectionbreak{\ifnum\value{section}>1\clearpage\fi}
\newcommand\subsectionbreak{\ifnum\value{subsection}>1\clearpage\fi}

\newcommand{\currentYear}{3. ročník MO (1953/1954)}

\title{\currentYear}
\date{}

% zahlavi, zapati
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{#1}{}}
\lhead{\leftmark}
\rhead{\textsl{\currentYear}}
\cfoot{\thepage}


\begin{document}
	
	\maketitle
	\tableofcontents
	
	\newpage
	\section{kategorie A}
	
		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Uvažme posloupnost danou vztahy
						\[
							a_1=1,\quad a_{n+1}=(n+1)a_n+(-1)^{n+1}.
						\]
					Dokažte, že pro $n>1$ je $a_n$ dělitelné číslem $n-1.$
					
				\item 
					Nechť $a,b$ jsou kladná a $z\neq0$ komplexní. Dokažte, že
						\[
							\left|az+b\bar z\right|^2\le(a+b)^2|z|^2
						\]
					a určete, kdy nastává rovnost. Interpretujte nerovnost geometricky.
				
				\item 
					V prostoru je dán rovnoramenný trojúhelník $ABS$ o základně $AB.$ Určete poloměr $r$ kulové plochy o středu $S$ tak, aby vzdálenost dotykových bodů $C,D$ tečných rovin přímkou $AB$ vedených k hledané kulové ploše byla rovna velikosti úsečky $AB.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item
								Zjistěte podmínky řešitelnosti a určete velikost poloměru $r.$
							
							\item 
								Naznačte grafické řešení a proveďte jeho diskuzi.
						\end{enumerate}
					
				\item 
					Budiž dán čtyřstěn $A_1A_2A_3A_4.$ Označme $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ roviny jeho stěn po řadě protějších k vrcholům $A_1, A_2, A_3, A_4.$ Jsou dány tři různé body $J,K,L$ ležící vně danému čtyřstěnu.
					
					Dokažte, že pro každou polohu bodů $J,K,L$ existuje alespoň jeden bod $X$ různých od bodů $J,K,L$ takový, že všechny body úseček $XJ, XK, XL$ leží vně daného čtyřstěnu.
					
					Při diskuzi uveďte příklady, jak k dané trojici bodů $J,K,L$ určíte bod $X.$
				
				\item 
					Dokažte, že pro $a>b>0$ a přirozené $n$ platí vztah
						\[
							\frac{n+1}{n}\,a>\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^n-b^n}>\frac{n+1}{n}\,b.
						\]
				
				\item 
					Nechť $A,B$ jsou komplexní čísla a $X_1,X_2$ kořeny rovnice $x^2+Ax+B=0.$ Dokažte, že je-li $\left|X_1\right|=\left|X_2\right|\neq0,$ potom $\frac{A^2}{B}$ je reálné. Rozhodněte, zda platí obrácené tvrzení.
				
				\item 
					Trojúhelník $ABC$ je podstavou trojbokého kolmého hranolu. Na pobočných hranách jsou postupně zvoleny body $A',B',C'.$ Rovina $A'B'C'$ oddělí část hranolu, jejíž objem je roven součinu obsahu trojúhelníka $ABC$ a aritmetického průměru délek úseček $AA', BB', CC'.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Dokažte uvedené tvrzení pro případ $A'=A.$
								
							\item 
								Dokažte tvrzení pro libovolně zvolené body $A',B',C'.$
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Budiž $ABCDA'B'C'D$ krychle (přičemž $AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'$ a $ABCD$ je její jedna stěna).
						\begin{enumerate}
							\item 
								Dokažte, že je tělesová úhlopříčka $B'D$ kolmá k rovinám $A'BC',ACD'$ a že je jimi rozdělena na tři stejně dlouhé úseky.
							
							\item 
								Vyšetřete polohu a velikost nejkratší příčky mimoběžek $AC,BC',$ jestliže je dána velikost $a$ hrany krychle. (Zobrazte ve volném rovnoběžném promítání.)
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Najděte všechna reálná $x$ splňující
						\[
							\log_{100}x+\log_{1000}x\le\log_{10x}x^3.
						\]
				
				\item 
					Jsou-li $z_1,z_2$ komplexní čísla splňující
						\[
							\left|z_1\right|=\left|z_2\right|,\quad \left|z_1-1\right|=\left|z_2-1\right|,
						\]
					pak $z_1=z_2$ nebo $z_1=\overline{z_2}.$ Dokažte a intepretujte tvrzení geometricky.
				
				\item 
					Mějme kvádr o rozměrech $a,b,c.$ Dokažte, že délka nejkratší příčky dvou mimoběžných stěnových úhlopříček je
						\[
							\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}.
						\]
				
				\item 
					Je dán trojúhelník $ABC.$ Najděte množiny bodů $X$ takové, že ve čtyřstěnu $ABCX$ jsou
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								hrany $AX,BX$ navzájem kolmé,
							
							\item 
								hrany $AX, BX$ a hrany $BX,CX$ navzájem kolmé,
							
							\item 
								každé dvě z hran $AX,BX,CX$ navzájem kolmé. V tomto případě určete podmínky řešitelnosti.
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Určete geometrický útvar v rovině, který vyplní obrazy komplexních čísel $z$ splňující
						\[
							z=\frac{as+b}{1+s},
						\]
					kde $a,b$ jsou daná komplexní čísla a $s\neq-1$ probíhá všechny komplexní jednotky.
				
				\item 
					Nechť $(a_n)$ je posloupnost nenulových čísel. Má-li $(a_n)$ nenulovou limitu, pak má posloupnost $\left(a_n/a_{n+1}\right)$ také limitu, která je rovna jedné. Dokažte.
				
				\item 
					Najděte všechna přirozená čísla, která jsou rovna jedenáctinásobku svého ciferného součtu v desítkové soustavě.
				
				\item 
					Budiž dána rovina $ABC=\rho$ a mimo ni přímka $p\parallel\rho.$ Uvažujme čtyřstěny $ABCX,$ kde vrchol $X$ probíhá přímku $p.$ Označme $V$ vrchol rotačního kužele s podstavou v rovině $\rho,$ na jehož plaášti leží všechny čtyři body $A,B,C,X.$ Proveďte diskuzi, kdy takový kužel existuje, a vyšetřete útvar, který vyplní všechny vrcholy $V.$
				
			\end{enumerate}
	
		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Určete součet
						\[
							s_n=1^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n+1}n^2,
						\]
					kde $n$ je dané přirozené číslo.
							
				\item 
					Buďte dána čísla $a>b>0.$ Dokažte, že
						\[
							\frac{(a-b)^2}{8a}<\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}<\frac{(a-b)^2}{8b}.
						\]
				
				\item 
					Rozhodněte, pro která $x$ má smysl rovnice
						\[
							\log_x10+ \log_x100+ \log_x1000 = \frac{\log x^3}{1+\log x}
						\]
					a najděte všechna její řešení.
				
				\item 
					Je dán kolmý čtyřboký hranol $ABCDA'B'C'D'$ (s podstavami $ABCD, A'B'C'D'$ a $AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'$). Najděte příčku $p$ mimoběžek $AC,BC'$ takovou, že $p\parallel B'D,$ a rozhodněte, kdy taková příčka existuje.
					
					Předpokládejme dále existenci příčky $p.$ Označme $X$ průsečík přímek $AC, p$ a $Y$ průsečík přímek $BC',p.$ Dokažte, že $X,Y$ jsou po řadě vnitřními body úseček $AC,BC',$ přičemž
						\[
							|AX|=2|CX|,\quad |C'Y|=2|BY|,\quad |B'D|=3|XY|.
						\]
				
			\end{enumerate}
		
		\subsection{Úlohy III. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					V oboru reálných čísel řešte rovnici
						\[
							ax^2+2(a-1)x+a-5=0
						\]
					s (reálným) parametrem $a.$
				
				\item 
					Nechť $a,b$ jsou komplexní čísla. Jestliže obrazy kořenů rovnice $z^2+az+b=0$ tvoří v~komplexní rovině spolu s obrazem čísla 0 pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s pravým úhlem při počátku, potom platí $a^2=2b\neq0.$ Dokažte a rozhodněte, zda lze tvrzení obrátit.
				
				\item 
					Dokažte, že
						\[
							\log_2\pi+\log_4\pi<\frac52.
						\]
				
				\item 
					Je dána krychle $ABCDA'B'C'D' (AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD').$ Nechť bod $X$ leží uvnitř úsečky $AB,$ průsečík hrany $AD$ s rovinou $B'D'X$ označme $Y.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Jaký útvar vyplní průsečík úhlopříček čtyřúhelníka $B'D'YX,$ probíhá-li bod $X$ vnitřek strany $AB?$
							
							\item 
								Rozhodněte, zda existuje mezi těmito čtyřúhelníky $B'D'YX$ takový, že se jeho úhlopříčky navzájem dělí v poměru $1:2.$
						\end{enumerate}		
				
			\end{enumerate}


	\section{kategorie B}

		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Nechť $a,b,c$ jsou nezáporná racionální čísla a $b\neq0.$ Pokud platí
						\[
							\sqrt a+\sqrt b=\sqrt c,
						\]
					potom je $\frac ab$ druhou mocninou racionálního čísla. Dokažte.
				
				\item 
					Budiž $a$ přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě a $b$ číslo, které vznikne zapsáním cifer čísla $a$ v opačném pořadí. Označme $s=a+b,r=|a-b|.$ Dokažte, že je-li počet cifer čísla $a$ sudý, je číslo $s$ dělitelné jedenácti a v opačném případě je dělitelné jedenácti číslo $r.$
				
				\item 
					Uvnitř trojúhelníku $ABC$ je dán bod $O.$ Veďme bodem $O$ rovnoběžky $p,q,r$ postupně se stranami $BC,CA,AB$ a označme $A_1=BC\cap q, A_2=BC\cap r, B_1=CA\cap r,B_2=CA\cap p,$ $C_1=AB\cap p, C_2=AB\cap q.$ Dokažte rovnost
						\[
							\sqrt{[A_1OA_2]} + \sqrt{[B_1OB_2]} + \sqrt{[C_1OC_2]} = \sqrt{[ABC]},
						\]
					kde $[XYZ]$ značí obsah trojúhelníku $XYZ.$
				
				\item 
					Mějme dány různé kružnice $k_1(S_1,r_1), k_2(S_2,r_2), r_1\ge r_2.$ Označme $X_1$ libovolný bod kružnice $k_1, X_2$ libovolný bod kružnice $k_2$ a $Y$ střed úsečky $X_1X_2$ (pokud $X_1=X_2,$ tak $X_1=Y=X_2$). Co vyplní všechny body $Y,$ když body $X_1, X_2$ mění svou polohu? 
				
				\item 
					Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo $n$ není číslo $2^n-1$ druhou mocninou celého čísla.
				
				\item 
					Pro libovolné reálné $x$ označme $\lfloor x\rfloor$ nejvetší celé číslo nepřevyšující $x.$ Dokažte, že pro každé $a>0$ a přirozené $m$ platí
						\[
							\left\lfloor \sqrt[m]{a}\right\rfloor= \left\lfloor \sqrt[m]{\lfloor a\rfloor}\right\rfloor.
						\]
				
				\item 
					Dokažte, že kladná $a,b,c$ jsou délky trojúhelníka právě tehdy, když
						\[
							\left|\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc}\right|<1.
						\]
				
				\item 
					Sestrojte pravoúhlý trojúhelník o přeponě $AB,$ jsou-li dána čísla $p\ge q>0$ a víme-li, že
						\[
							|AB|+|AC|=p,\quad |BA|+|BC|=q.
						\]
					Proveďte diskuzi.
				
				\item 
					Uvažujme reálná čísla $a,b,c$ splňující
						\[
							abc>0,\quad ab+bc+ca>0,\quad a+b+c>0.
						\]
					Dokažte, že všechna tři čísla $a,b,c$ jsou kladná.
				
				\item 
					Dokažte, že číslo
						\[
							2^{4n+1}-2^{2n}-1
						\]
					je dělitelné devíti pro libovolné přirozené číslo $n.$
				
				\item 
					Dokažte správnost tohoto postupně prováděného dělení úsečky $A_0A_1$ na jednu polovinu, jednu třetinu, \ldots, jednu $n$-tinu.
					
					Označme $A_k$ bod úsečky $A_0A_1,$ pro nějž platí $|A_0A_k|= \frac1k |A_0A_1|,$ kde $k>1$ je přirozené číslo. Jestliže pro přirozené číslo $n>1$ známe polohu bodu $A_{n-1}$ na úsečce $A_0A_1,$ sestrojíme bod $A_n$ následovně. Veďme body $A_0,A_1,A_{n-1}$ po řadě přímky $a_0\parallel a_1\parallel a_{n-1},$ různé od přímky $A_0A_1,$ a označme $P_0,P_1,P_{n-1}$ průsečíky s přímkou $p\parallel A_0A_1,p\neq \overleftrightarrow{A_0A_1}.$ Budiž $X_n$ průsečík přímek $P_0A_1, P_{n-1}A_0.$ Přímka $a_n\parallel a_0$ vedená bodem $X_n$ protíná úsečku $A_0A_1$ v~hledaném bodě $A_n.$
				
				\item 
					Obdélník, jehož rozměry jsou přirozená čísla $a,b,$ je rozdělen na $ab$ shodných čtverců. Stočme tento obdélník do pláště rotačního válce tak, aby se strana obdélníka o délce $a$ stala obvodem podstavy tohoto válce. Vrcholy zmíněných shodných čtverců vytvoří na plášti válce \textsl{mřížové body}. Každé dva mřížové body spojíme přímkou, kterou nazveme \textsl{příčka}.
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Kolik je těch příček, které procházejí vnitřkem vytvořeného válce?
								
							\item 
								Dostaneme více takových příček, když stočíme větší, nebo když stočíme menší stranu tohoto obdélníka v podstavnou kružnici rotačního válce?
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Určete součet
						\[
							s_n=1\cdot2-2\cdot3+3\cdot4-\cdots+(-1)^{n+1}n(n+1),
						\]
					kde $n$ je dané přirozené číslo.
				
				\item 
					Řešte soustavu
						\begin{align*}
							x_1+a\left(x_2+x_3+x_4\right)&=b_1, \\
							x_2+a\left(x_3+x_4+x_1\right)&=b_2, \\
							x_3+a\left(x_4+x_1+x_2\right)&=b_3, \\
							x_4+a\left(x_1+x_2+x_3\right)&=b_4, 
						\end{align*}
					s neznámými $x_1,x_2,x_3,x_4$ a stanovte podmínky řešitelnosti vzhledem k daným číslům $a,b_1,$ $b_2,b_3,b_4.$
				
				\item 
					Jsou dány po dvou navzájem mimoběžné přímky $a,b,c.$ Kolik je na přímce $c$ bodů takových, jimiž nelze vést příčku přímek $a,b?$ Proveďte diskuzi.
				
				\item 
					Označme $M$ střed strany $CD$ daného obdélníka $ABCD.$ Co musí platit o rozměrech tohoto obdélníku, platí-li $BD\perp AM?$
				
				 
			\end{enumerate}

		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Druhá mocnina celého čísla je vždy tvaru $5n$ nebo $5n\pm1$ pro vhodné nezáporné celé číslo. Dokažte a rozhodněte, zda lze tvrzení obrátit.
				
				\item 
					Jsou-li $u_1,u_2,v_1,v_2$ libovolná reálná čísla, potom
						\[
							\left(u_1v_1+u_2v_2\right)^2 \le \left(u_1^2+u_2^2\right) \left(v_1^2+v_2^2\right).
						\]
					Dokažte a rozhodněte, kdy nastává rovnost.
				
				\item 
					Je dán trojúhelník $ABC.$ Uvnitř strany $BC$ zvolme dva různé body $J,J'.$ Na úsečce $AB$ určete body $K,K'$ tak, aby platilo $JK\parallel AC\parallel J'K',$ a na úsečce $AC$ body $L,L'$ tak, aby $JL\parallel AB\parallel J'L'.$ Dokažte, že
						\[
							\frac{|KK'|}{|LL'|}=\frac{|AB|}{|AC|}.
						\]
				
				\item 
					Uvažme rovnostranný trojúhelník $ABC$ a jeho vnitřní bod $P.$ Dokažte, že délka každé ze tří úseček $PA,PB,PC$ je menší než součet délek zbývajících dvou.
				 
			\end{enumerate}


	\section{kategorie C}
			
		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Jsou dána přirozená čísla $n>1,a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n$ a zlomky
						\[
							\frac{a_1}{b_1},\ldots,\frac{a_n}{b_n}.
						\]
					Dokažte následující dvě tvrzení.
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Jestliže jsou si všechny tyto zlomky rovny, potom je jim roven i zlomek
									\[
										\frac{a_1+\cdots+a_n}{b_1+\cdots+b_n}.
									\]
							
							\item 
								Jestliže jsou alespoň dva z daných zlomků různé, potom
									\[
										\min\left\{\frac{a_1}{b_1},\ldots,\frac{a_n}{b_n}\right\} < \frac{a_1+\cdots+a_n}{b_1+\cdots+b_n} < \max\left\{\frac{a_1}{b_1},\ldots,\frac{a_n}{b_n}\right\}.
									\]
						\end{enumerate}
					
				\item 
					V dílně mělo $n$ dělníků se stejným pracovním výkonem vykonat určitou práci za $d$ dní. Po odpracování $a<d$ dní se dělníci zavázali, že zvýší svůj výkon o $p$ \%. Kolik dělníků potom stačí na to, aby byla práce vykonaná v plánované době $d$ dní?
					
				\item 
					Určete všechny trojice po dvou nesoudělných přirozených čísel s vlastností, že součet kterýchkoli dvou z nich je dělitelný třetím číslem.
					
				\item 
					Buď $ABCD$ konvexní čtyřúhelník a $S_1,S_2$ postupně středy stran $AB,CD.$ 
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Jestliže se přímky $S_1S_2, AD, BC$ protínají v jednom bodě, je $ABCD$ lichoběžník.
							
							\item 
								Jestliže je průsečík úhlopříček $AC,BD$ bodem úsečky $S_1S_2,$ je $ABCD$ lichoběžník nebo rovnoběžník. 
						\end{enumerate}
					Dokažte obě tvrzení.
					
				\item 
					Určete všechny dvojice přirozených čísel $x,y,$ pro která je $x^2-y^2$ třetí mocninou prvočísla.	
					
				\item 
					Nechť $a,b,c$ jsou přirozená čísla a $c>1.$ Dokažte, že
						\[
							a+b\le abc,
						\]
					a určete, kdy nastává rovnost.
					
				\item 
					Je dána úsečka $AA_1$ a její vnitřní bod $V.$ Sestrojte rovnoramenný trojúhelník $ABC$ tak, aby byl bod $A_1$ patou výšky spuštěné z vrcholu $A$ na stranu $BC$ a aby bod $V$ byl průsečíkem výšek tohoto trojúhelníka. Uvažujte oba případy, kdy $AB$ je, resp. není, základnou a proveďte diskuzi řešitelnosti.
					
				\item 
					Je dán lichoběžník $ABA'B'$ se základnami $AB,A'B'$ a dále bod $M,$ který neleží na žádné z přímek $AB,A'B'.$ Sestrojte přímku $q$ jdoucí bodom $M$ tak, aby protnula polopřímky $AB,A'B'$ postupně v takových bodech $X,X',$ že $|AX|=|A'X'|.$ Proveďte diskuzi s ohledem na polohu bodu $M.$
					
				\item 
					Letadlo koná službu mezi místy $A,B$ tak, že létá z místa $A$ do místa $B$ a hned se vrací zpět. Vane-li vítr od $A$ k $B$ určitou rychlostí, vykoná letadlo obě cesty za 4 hodiny 6 minut. Vane-li vítr opačným směrem, ale rychlostí trojnásobnou než v prvním případě, vykoná letadlo obě cesty za 5 hodin. Za jakou dobu vykoná letadlo obě cesty za bezvětří?
				
				\newpage	
				\item 
					Určete všechny dvojice $x,y$ nezáporných celých čísel, které splňují
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								$xy=x+y,$
								
							\item 
								$xy<x+y,$
								
							\item 
								$xy>x+y.$
						\end{enumerate}
					
				\item 
					Je dán čtverec $ABCD$ o straně délky $a.$ Označme postupně $S_1,S_2,S_3,S_4$ středy jeho stran $CD,DA,AB,BC.$ Dokažte, že přímky $AS_1,BS_2,CS_3,DS_4$ určují čtverec $A_1B_1C_1D_1,$ kde $A_1=AS_1\cap BS_2, B_1=BS_2\cap CS_3,$ a vyjádřete jeho obsah v závislosti na $a.$
					
				\item 
					Jsou dány dvě různé soustředné kružnice a pevný bod $M$ na vnitřní kružnici. Bodem $M$ vedeme jednak libovolnou tětivu $MA$ vnitřní kružnice, jednak tětivu $BC\perp MA$ vnější kružnice. Co vyplní středy jednotlivých stran všech trojúhelníků $ABC,$ mění-li se poloha bodu $A?$ Co vyplní těžiště všech těchto trojúhelníků $ABC?$
					
				\item 
					Určete všechna reálná $a,b,c,$ pro která je výraz
						\[
							\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}-\frac{a-b}{c}
						\]
					roven nule
					
				\item 
					V oboru reálných čísel řešte rovnici
						\[
							ax^2=a^2-a-2
						\]
					s reálným parametrem $a.$
					
				\item 
					Budiž dána kružnice $k$ o středu $S$ a poloměru $r.$ Zvolme na ní body $A,B$ tak, že $AB$ je jejím průměrem. Buď $X$ libovolný bod kružnice $k$ různý od $A,B.$ Na polopřímce $AX$ určeme bod $Y$ tak, aby platilo $|AY|=|BX|.$ Co vyplní všechny body $Y,$ když bod $X$ probíhá kružnici~$k?$
					
				\item 
					Najděte všechny konvexní čtyřúhelníky, které jsou svou úhlopříčkou rozděleny na dva podobné trojúhelníky. Určete, kdy je tato podobnost shodností.
					
					
			\end{enumerate}
			
		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Určete všechy trojice reálných čísel $a,b,c,$ pro které je výraz
						\[
							a\left(b^2+c^2\right) + b\left(c^2+a^2\right) - c(a+b)^2
						\]
					roven nule.
					
				\item 
					Řešte soustavu rovnic
						\[
							\frac xa=\frac yb=\frac zc=t,\quad x+y+z=s,
						\]
					s neznámými $t,x,y,z$ a s nenulovými parametry $a,b,c$ a libovolným $s.$
					
				\item 
					Buďte dány body $X,Y$ a přímka $p,$ která je odděluje. Najděte na přímce $p$ bod $O$ splňující $|\sphericalangle XOP|=|\sphericalangle YOP|,$ kde $P\neq O$ je libovolný bod přímky $P.$ Stanovte podmínku řešitelnosti pro různé polohy bodů $X,Y.$
					
				\item 
					Buď dán rovnoběžník $ABCD.$ Označme po řadě $M,N$ středy stran $AD,BC$ a dále $P,Q$ průsečíky úhlopříčky $BD$ s přímkami $AN,MC.$ Dokažte, že
						\[
							|BP|=|PQ|=|QD|,\quad |PN|=|MQ|=\frac13|AN|.
						\]
					
			\end{enumerate}


	\section{kategorie D}
	
		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Gumový míček pustíme volně z ruky z určité výšky na podlahu, od níž se opět odrazí vzhůru. Po každém odrazu dosáhne míček výšky rovné $\frac35$ té výšky, z níž právě dopadl.
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Jestliže jsme pustili míček z výšky 12 metrů, určete, jaké výšky dosáhne po třetím odrazu od podlahy?
								
							\item 
								Z jaké výšky jsme míček pustili, jestliže po třetím odrazu od podlahy dosáhl výše $\frac73$ m?
						\end{enumerate}
				
				\item 
					V obchodě měli ráno určitý počet bochníků chleba. Z toho závodní kuchyně odebrala $\frac34$ zásoby a ještě navíc $\frac14$ bochníku. Potom $\frac34$ zbytku zásoby a $\frac14$ bochníku navíc koupilo sousední uzenářství, $\frac34$ zbytku a další $\frac14$ bochníku koupila mateřská škola na svačiny žákům, načež $\frac34$ zbytku poslední zásoby a $\frac14$ bochníku odebral kupující.
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Vypočtěte, kolik bochníků chleba měli původně v obchodě.
								
							\item 
								Vysvětlete, jak je možné, že při žádném z uvedených prodejů nemuseů prodavač bochníky rozkrajovat.
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Budiž dána krychle o hraně velikosti 5 cm. Krychle je slepena z krychliček o hraně 1 cm. Zvolme na povrchu krychle tři čtverečky $Q_1,Q_2,Q_3$ o stranách 1 cm tak, jak je naznačeno v obr. 26. Nad čtverečkem $Q_1$ ve směru hrany $OA$ (viz obr. 26) vyrazíme sloupec složený z~pěti krychliček (vyňatá část je znázorněna na obr. 27). Tím vznikne v dané krychli otvor. Obdobným způsobem sestrojíme otvor nad čtverečkem $Q_2$ ve směru hrany $OB$ a dále nad čtverečkem $Q_3$ ve směru hrany $OC.$ (Celkem bylo vyňato 13 krychliček.)
					
					Nyní provrtanou krychli ponoříme do barvy, aby se povrch a dutiny obarvily. Po uschnutí krychli rozbijeme na krychličky o hranách 1 cm. Určete, kolik jsme dostali krychliček, které mají obarvenou žádnou, jednu, dvě, tři, čtyři, pět nebo šest stěn.
					
						\includegraphics[width=\textwidth]{03_obr.pdf}
				
				\item 
					Je dán trojúhelník $ABC.$ Zkonstruujte střed $S$ kružnice opsané pouze za pomoci (je-li třeba více) trojúhelníkových pravítek (tj. můžete rýsovat pouze rovnoběžky s existujícími přímkami a kolmice na ně). Odůvodněte správnost nalezené konstrukce.
				
				\item 
					Z Číny dorazila zásilka tří druhů čajů. Všech čajů bylo dohromady méně než 4 tuny, přitom celkové čisté hmotnosti všech tří druhů byly navzájem stejné. První druh byl dopraven v~76 bedničkách, druhý v 57 bedničkách jiné velikosti, třetí druh v 60 bedničkách ještě jiné velikosti. V každé bedničce byl celočíselný počet kilogramů čaje. Kolik kg každého čaje bylo a kolik kg čaje bylo v jednotlivých bedničkách? 
				
				\item 
					Je dán trojúhelník $ABC$ a kružnice $k,$ která protíná strany $AB,BC,CA$ postupně ve dvojicích bodů (buď různých, nebo splývajících) 
						\[
							\left(C_1,C_2\right),\quad \left(A_1,A_2\right),\quad  \left(B_1,B_2\right).
						\]
					Určete, jak musí být zvolen střed a poloměr kružnice $k,$ aby platilo
						\[
							\left|AC_1\right|=\left|BC_2\right|,\quad \left|BA_1\right|=\left|CA_2\right|,\quad \left|CB_1\right|=\left|AB_2\right|.
						\]
				
				\item 
					Pan Novák je předsedou JZD v obci. Občas jezdívá z obce do okresního města. Tam pro něho odpoledne přijíždí na motocyklu z jejich obce vždy ve stejnou dobu jeho syn, který jej hned po svém příjezdu odváží domů, kam přijíždějí vždy v 17:00 po půlhodinové jízdě.
					
					Jednoho dne skončil pan Novák v okresním městě svá jednání dříve a vydal se v 15:45 obvyklou cestou pěšky synovi naproti. Jakmile se setkali, nasedl pan Novák na motocykl a odjeli ihned domů, kam dojeli v 16:50. Předpokládejme, že motocykl jede oběma směry (tj. z obce do města a zpět) stejnou rychlostí.
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								V kolik hodin se onoho dne oba setkali?
								
							\item 
								Jakou část vzdálenosti z města k obci ušel pan Novák pěšky?
								
							\item 
								Jaký je poměr rychlostí pěší chůze pana Nováka a motocyklu?
						\end{enumerate}
				
				\item 
					V trojúhelníku $ABC$ platí $\left|AC\right|=\left|BC\right|.$ Na stranách $AC,BC$ zkonstruujte body $A',B'$ tak, aby platilo
						\[
							\left|AA'\right|=\left|A'B'\right|=\left|BB'\right|,
						\]
					a dokažte, že $A'B'\parallel AB.$
				
				\item 
					Rychlík délky 200 m jede rychlostí 16 m/s. Na druhé koleji trati přejíždí opačným směrem nákladní vlak. Strojvedoucí rychlíku zjistil, že poslední vagón nákladního vlaku minul lokomotivu za 12 sekund od setkání lokomotiv. Dále zjistil, že od okamžiku, kdy se setkaly lokomotivy obou vlaků, až do okamžiku, kdy se minuly oba poslední vagóny vlaků, uplynulo 20 sekund. Jak dlouhý je nákladní vlak a jakou jel rychlostí?
				
				\item 
					Kterým nejmenším přirozeným číslem musíme vynásobit číslo $56\,010\,528,$ abychom dostali číslo, které je současně druhou mocninou nějakého přirozeného čísla a které je současně třetí mocninou jiného přirozeného čísla?
				
				\item 
					Je dáno číslo $m>0$ a body $A,B$ v rovině. Uvažme všechny rovnoběžníky $ABCD$ takové, že $|AD|=m.$ Jaký útvar vyplní středy všech těchto rovnoběžníků?
				
				\item 
					Je dána kružnice $k$ o středu $S$ a poloměru $r.$ Dále je dán bod $A$ ležící vně kružnice $k.$ Uvažme kružnici $\ell$ se středem $S,$ poloměrem $SA$ a označme $A_0$ druhý krajní bod jejího průměru jdoucího bodem $A.$ Dále uvažme kružnici $m$ o poloměru $2r$ se středem $A_0.$ Nechť $A_1,A_2$ jsou průsečíky kružnic $\ell,m.$ Dokažte, že jsou přímky $AA_1,AA_2$ tečnami kružnice $k.$
				
				\newpage
				\item 
					V nádobě máme 910 cm$^3$ solného roztoku, který vznikl rozpuštěním 80 g soli v čisté vodě. Odlejme 245 cm$^3$ roztoku a doplňme odebrané množství čistou vodou na původních 910 cm$^3.$ Pak odlejme z nového roztoku opět 245 cm$^3$ a odebrané množství doplňme zase čistou vodou na původních 910 cm$^3.$ Kolik gramů soli je v 910 cm$^3$ posledního roztoku?
				
				\item 
					Nechť $x238y$ značí pětimístné přirozené číslo $N$ v desítkovém zápisu. Jaké musí být cifry $x,y,$ aby bylo $N$ dělitelné patnácti?
				
				\item 
					Mějme pravidelný osmiúhelník $A_1A_2\ldots A_8$ a označme $O$ jeho střed. Uvnitř toho osmiúhelníka uvažme čtverec $A_1A_2CD,$ jehož střed označíme $S.$ 
					
					Čtvercem $A_1A_2CD$ budeme pohybovat tak, že stále zůstane v daném osmiúhelníku. Čtverec nejdříve otočíme kolem bodu $A_2$ tak, že vrchol $C$ splyne s bodem $A_3;$ novou polohu bodu $D$ označme $D'.$ Čtverec, který jsme tak dostali, opět otočíme, tentokrát kolem bodu $A_3,$ a to tak, že bod $D'$ po otočení splyne s bodem $A_4.$ Stejným způsobem postupně provedeme další otáčení čtverce kolem bodů $A_4,A_5,\ldots,A_8,A_1.$ Při posledním otočení se čtverec dostane do své původní polohy.
					
					Vyšetřete, jakou čáru opsal bod $S$ při všech osmi otočeních.
				
				\item 
					Je dána úsečka $AB$ a uvnitř jedné z polorovin daných přímkou $AB$ jsou dány body $M,N$ takové, že součet velikostí úhlů $\sphericalangle MAB,\sphericalangle NBA$ je $180^\circ.$ Úhel $\sphericalangle MAB$ je rozdělen polopřímkami $AM_1,AM_2$ na tři úhly stejné velikosti, tj.
						\[
							\left|\sphericalangle MAM_1\right| = \left|\sphericalangle M_1AM_2\right| = \left|\sphericalangle M_2AB\right| = \frac13|\sphericalangle MAB|.
						\]
					Stejně tak je úhel $\sphericalangle NBA$ je rozdělen polopřímkami $BN_1,BN_2$ na tři stejně velké úhly tak, že $\left|\sphericalangle NBN_1\right|=\frac13\left|\sphericalangle NBA\right|.$ Označme $C$ průsečík polopřímek $AM_1,BN_1$ a $U$ průsečík polopřímek $AM_2,BN_2.$ Co musí platit o úhlech $\sphericalangle MAB$ a $\sphericalangle NBA,$ aby bylo $UC\parallel AM?$
				
				
			\end{enumerate}
		
		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Z konečné stanice městských pouličních autobusových tratí vycházejí tři okružní autobusové tratě.
					
					Tři určité vozy označené čísly 1, 2, 3 vyjely v 5:00 na své tratě. Vůz č. 1 po svém návratu na konečnou stanici vyjíždí opět v 5:40. Vůz č. 2 vyjíždí znovu v 6:00 a vůz č. 3 znovu v 6:20. S těmito časovými rozdíly projíždějí vozy své tratě po celý den.
					
					V kolik hodin dopoledne budou tyto tři vozy opět vyjíždět současně z konečné stanice?
				
				\item 
					Zlomek $\frac{1}{13}$ vyjádřeme jako desetinné číslo. Která cifra stojí v tomto rozvoji na 1000. místě za desetinnou čárkou?
				
				\item 
					Narýsujte rovnoběžník $ABCD,$ je-li dáno $|AB|=7\text{ cm}, |\sphericalangle BAD|=60^\circ$ a strana $CD$ prochází průsečíkem os úhlů $\sphericalangle BAD, \sphericalangle ABC.$ Dokažte, že $|AB|=2|AD|.$
				
				\item 
					Uvnitř strany $AC$ trojúhelníku $ABC$ zvolme bod $E$ a veďme jím rovnoběžku s přímkou $AB.$ Označme $F$ její průsečík se stranou $BC.$ Bodem $F$ veďme rovnoběžku s přímkou $AC$ a~označme $G$ její průsečík se stranou $AB.$ Jak je třeba volit bod $E,$ aby $EG\parallel BC?$ Co pak platí o bodech $F,G?$
				
			\end{enumerate}
		

\end{document}
