\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[IL2]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks=true,
	linkcolor=blue
}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{lmodern}

\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{enumitem}

\setlist[enumerate]{font=\bfseries}

% v podstate kazda nova (sub)sekce na novou stranku
% https://tex.stackexchange.com/a/108381/173662
\usepackage{titlesec}
\newcommand\sectionbreak{\ifnum\value{section}>1\clearpage\fi}
\newcommand\subsectionbreak{\ifnum\value{subsection}>1\clearpage\fi}

\newcommand{\currentYear}{4. ročník MO (1954/1955)}

\title{\currentYear}
\date{}

% zahlavi, zapati
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{#1}{}}
\lhead{\leftmark}
\rhead{\textsl{\currentYear}}
\cfoot{\thepage}


\begin{document}
	
	\maketitle
	\tableofcontents
	
	\newpage
	\section{kategorie A}
	
		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Buďte dány zlomky
						\[
							\frac ab, \frac cd,
						\]
					kde $a,b,c,d\in\mathbb{R}, b\neq0\neq d.$ Určete $x\in\mathbb R$ tak, aby platilo
						\[
							\frac{a+x}{b+x}=\frac{c+x}{d+x}.
						\]
					
				\item 
					Rovnicí
						\[
							y=2^x+2^{-x}
						\]
					je dána funkce reálné proměnné $x.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Určete obor hodnot.
								
							\item 
								Určete, na kterých intervalech je daná funkce monotónní. Rozhodněte, zda (a kde) nabývá daná funkce nejmenší hodnoty.
						\end{enumerate}	
					
				\item 
					Mějme dánu délku $p$ hrany čtvercové podstavy jehlanu $MNPQV$ a odchylku $\beta$ přímky $VP$ od roviny $MNP.$ Přitom každé dvě z rovin $MNP, VMN, VQM$ jsou k sobě kolmé.
					
					Do daného jehlanu je vepsán rovnoběžnostěn $\mathsf{R}=ABCDA'B'C'D'$ o podstavě $ABCD,$ přičemž $AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'.$ Vrcholy $A=M, B, C, D$ leží v rovině $MNP$ a vrcholy $A',B',C'$ leží po řadě uvnitř hran $VM, VN, VP.$ Dále je dána odchylka $\alpha$ přímky $AC'$ od roviny $MNP.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Narýsujte obraz obou těles v rovnoběžném promítání a proveďte diskuzi řešitelnosti úlohy vzhledem k daným číslům $p, \alpha, \beta.$
							
							\item 
								Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu $\mathsf{R}$ v závislosti na $p, \alpha, \beta.$
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Vzdálenost paty výšky o délce $v$ kosého kuželu s kruhovou podstavou o poloměru $r$ od středu podstavy je $d.$ Určete konstrukčně ty řezy daného kuželu vrcholovými rovinami, které jsou pravoúhlými trojúhelníky a které obsahují střed podstavy. Určete podmínky řešitelnosti.
				
				\item 
					Určete všechny trojice přirozených čísel $x,y,z$ splňující rovnici
						\[
							\frac1z = \frac1x + \frac1y.
						\]
				
				\item 
					Určete počet trojúhelníků, jejichž všechny strany mají celočíselné délky a nejsou větší než dané přirozené číslo $n.$
				
				\item 
					V rovině $\varrho$ je dán pravidelný $n$-úhelník ($n>2$) $A_1\ldots A_n$ se středem $S.$ Uvnitř jednoho z~poloprostorů vyťatých rovinou $\varrho$ zvolme bod $U$ tak, aby platilo $SU\perp \varrho.$ Uvnitř polopřímky $SU$ zvolme bod $V$ a uvažme jehlan $A_1\ldots A_nV$. Bodem $A_1$ proložme rovinu $\omega\perp VA_2$ a~označme $X$ její průsečík s přímkou $VA_2.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Dokažte, že velikost odchylky rovin $VA_1A_2, VA_2A_3$ je rovna jedné z hodnot
									\[
										|\sphericalangle A_1XA_3|,\quad 180^\circ-\left|\sphericalangle A_1XA_3\right|.
									\]
							
							\item 
								Určete množiny bodů $X,$ probíhá-li bod $V$ vnitřek polopřímky $SU.$
								
							\item 
								Pro kterou polohu bodu $V$ má bod $X$ od roviny největší vzdálenost? Určete tuto hodnotu vzdálenosti.
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Nechť čísla $a\geq b\geq c$ udávají velikosti stran daného trojúhelníku $ABC.$ Určete číslo $x$ tak, aby úsečky o velikostech $a+x, b+x, c+x$ udávaly strany pravoúhlého trojúhelníku.
				
				\item 
					První tři členy geometrické posloupnosti reálných čísel mají součet $s;$ součet druhých mocnin těchto tří členů je roven $s^2-hs,$ kde $hs\neq0.$ Určete první člen a kvocient této posloupnosti pomocí $h,s$ a proveďte diskuzi řešitelnosti úlohy.
				
				\item 
					Dokažte, že mnohočlen $a^6-a^5-a^4+a^2+a+1$ je dělitelem mnohočlenu
						\[
							a^{3n}-a^{2n+1}-a^{2n}-a^{2n-1}+a^{n+1}+a^n+a^{n-1}-1
						\]
					pro každé přirozené číslo $n.$
				
				\item 
					Nechť jsou dány číslo $m>0$ a obdélník $ABCD$ o stranách $|AB|=a\ge b=|BC|.$ Zvolme postupně body $X,Y$ uvnitř stran $CD,BC$ a uvažme obdélník $XCYZ.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Vyšetřete množinu všech takto sestrojených bodů $Z,$ pro které navíc platí 
									\[
										|\sphericalangle XAD|=|\sphericalangle YAB|.
									\]
								
							\item 
								Sestrojte úsečku $XY$ takovou, aby platilo 
									\[
										|\sphericalangle XAD|=|\sphericalangle YAB|, \quad |XY|=m.
									\]
								Proveďte diskuzi řešitelnosti.
						\end{enumerate} 
				
				\item 
					Jsou dány tři po dvou mimoběžné přímky $p,q,x.$ Dále buď dána rovina $\varrho\parallel x,$ přičemž přímka $x$ v rovině $\varrho$ neleží. Určete všechny body $X\in x,$ z nichž se přímky $p,q$ promítají na rovinu $\varrho$ jako různoběžky. (Je-li $X$ střed promítání a $\varrho\not\ni X$ průmětna, pak průmětem přímky $m\not\ni X$ je průsečnice rovin $\varrho$ a $(X,m)$.) Proveďte diskuzi řešitelnosti úlohy vzhledem k různým polohám daných přímek a roviny $\varrho.$
				
				\item 
					Určete všechna přirozená čísla $k$ taková, aby číslo $k^2$ zapsané v dekadické soustavě mělo na posledních dvou místech stejné nenulové cifry.
				
				\item 
					Najděte všechna komplexní čísla $z$ vyhovující rovnici
						\[
							z=\frac{z+a\text{i}}{\bar z},
						\]
					kde $a$ je dané reálné číslo. Řešení geometricky interpretujte.
				
				\item 
					Řešte soustavu rovnic
						\begin{align*}
							x+y &= \alpha, \\
							\sin^2x+\sin^2y &= 1-\cos\alpha,
						\end{align*}
					kde $\alpha$ je dané číslo.
				
				\item 
					Nechť jsou dány body $A,B,C,D$ na jednotkové kulové ploše se středem $S.$ Pokud leží bod $S$ uvnitř čtyřstěnu $ABCD,$ potom alespoň jedna ze tří hran $AB,AC,AD$ má délku větší než $\sqrt2.$ Dokažte.
				
			\end{enumerate}
	
		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Řešte rovnici
						\[
							\frac{1+x}{m+x}=\frac{m^3+x}{m^2+x}
						\]
					s neznámou $x$ a reálným parametrem $m.$
				
				\item 
					Dokažte, že tvoří-li obrazy komplexních čísel $0,u,v$ vrcholy jednotkového rovnostranného trojúhelníku, potom
						\[
							u\bar v+\bar uv=1.
						\]
				
				\item 
					Buď dána krychle $ABCDA'B'C'D'$ (kde $ABCD$ je stěna a $AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'$) o~hraně délky $h$ a číslo $m>h.$ Sestrojte obdélník $MNPQ,$ jehož vrcholy $M,N,P,Q$ leží po řadě na polopřímkách $AB,AD,A'D',A'B'$ a jehož úhlopříčky mají velikost $m.$ Označme $U,V$ postupně středy stran $MN,PQ.$ Jaký útvar vyplní úsečky $UV$ všech takto sestrojených obdélníků? Udejte podmínku řešitelnosti.
				
				\item 
					Buď dán rovnoramenný trojúhelník $ABC$ o základně $AB.$ Nechť bod $X$ leží uvnitř strany $AC$ a bod $Y\neq B$ leží na polopřímce opačné k $BC.$ Označme $P$ průsečík úseček $AB$ a $XY.$ Dokažte, že $|PX|=|PY|$ právě tehdy, když $|AX|=|BY|.$ 
				
			\end{enumerate}
		
		\subsection{Úlohy III. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Buď dán lichoběžník $ABCD$ takový, že $AB\parallel CD, |AB|>|CD|.$ Označme $E$ průsečík přímek $AC,BD$ a $F$ průsečík přímek $AD,BC.$ Dále označme $GH$ přímku jdoucí bodem $E$ a rovnoběžnou se základnami, přičemž $G$ leží na přímce $AD$ a $H$ na přímce $BC.$ Označme po řadě $K,L$ středy základen $AB, CD.$ Dokažte, že
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								přímka $EF$ prochází body $K,L,$
							
							\item 
								exituje průsečík $M$ přímek $AC,KH$ a průsečík $N$ přímek $BD,KG,$
								
							\item 
								body $F,M,N$ leží na jedné přímce.
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Buďte dány dvě soustředné kulové plochy $\mathsf{K}_1$ s poloměrem $a$ a $\mathsf{K}_2$ s poloměrem $b,$ přitom $a<b.$ Označme $ABCDA'B'C'D'$  kolmý hranol se čtvercovou podstavou $ABCD$ $(AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'),$ jehož vrcholy $A,B,C,D$ leží na ploše $\mathsf{K}_2,$ a rovina $A'B'C'D'$ se dotýká plochy $\mathsf{K}_1.$ Nechť dále platí
						\[
							\frac{|AB|}{|AA'|}=\frac ab.
						\]
					Vypočtěte rozměry tohoto hranolu. Kolik takových hranolů (až na shodnost) existuje?	
				
				\item 
					V rovině komplexních čísel je vepsán jednotkové kružnici se středem v počátku pravidelný 17úhelník s jedním vrcholem v bodě $1+0\text{i}.$ Určete počet jeho vrcholů, které leží uvnitř jednotkové kružnice se středem $\sqrt{3/2}(1+\text{i}).$
				
				\item 
					Jsou-li $a,b,c$ různá reálná čísla, potom má rovnice
						\[
							\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0
						\]
					vždy reálné řešení. Dokažte.			
				
			\end{enumerate}


	\section{kategorie B}

		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Řešte soustavu rovnic
						\begin{align*}
							\frac{1}{x+1}+m(y-2) &= 1, \\
							\frac{m}{x+1}+y-1 &= 2m,
						\end{align*}
					kde $x,y$ jsou neznámé a $m$ je reálný parametr.
				
				\item 
					Nechť $a,b,c$ jsou po dvou různá kladná čísla.
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Dokažte, že platí-li
									\[
										(a-b)(a-c)>0,
									\]
								pak je $a$ největším nebo nejmenším z dané trojice čísel. Lze tvrzení obrátit?
								
							\item 
								Dokažte, že platí-li
									\[
										(a-b)(b-c)>0,
									\]
								pak je $a$ největším nebo nejmenším z dané trojice čísel. Lze tvrzení obrátit?
								
							\item 
								Jestliže je číslo $a$ největším nebo nejmenším z čísel $a,b,c,$ potom platí
									\[
										b(c+a)>a(c-a).
									\]
								Lze tvrzení obrátit?	
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Buď dána kružnice $m$ a její dva navzájem kolmé průměry $AA',BB'.$ Uvnitř menšího oblouku $AB$ zvolme bod $X$ a označme $K$ průsečík přímek $BX,AA'.$ Dále označme $k$ kolmici vedenou bodem $K$ k přímce $AA'$ a $t$ tečnu kružnice $m$ v bodě $X.$ Určete množinu průsečíků $Y$ přímek $k,t,$ probíhá-li bod $X$ vnitřek menšího oblouku $AB$ kružnice $m.$
				
				\item 
					Kvádr má rozměry $a,b,c.$ Zobrazte v rovnoběžném promítání lomenou čáru na povrchu kvádru, která je nejkratší spojnicí dvou protějších vrcholů tohoto kvádru. Konstrukci proveďte na základě předchozího výpočtu.
				
				\item 
					Nechť $m$ je dané reálné číslo. Určete všechna reálná čísla $x\neq -m$ splňující vztah
						\[
							\frac{4x}{x+m}\ge2.
						\]
					Proveďte diskuzi vzhledem k různým hodnotám čísla $m.$
				
				\item 
					Nechť je dáno reálné číslo $a.$ Proveďte rozbor funkce
						\[
							y=x^2+|ax^2-1|
						\]
					vzhledem na různé hodnoty čísla $a$ a na základě rozboru načrtněte graf funkce.
				
				\item 
					Mějme kružnici $k$ se středem $S$ a její průměr $AB.$ Nechť je dále $C$ bod na kružnici $k$ různý od $A,B.$ Na polopřímce $BC$ najděte bod $D$ tak, aby platilo $|BD|=2|BC|.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Dokažte, že se úsečky $AC,SD$ protínají v bodě $X$ ležícím uvnitř každé z nich.
								
							\item 
								Určete množinu všech bodů $X,$ probíhá-li bod $C$ všechny body kružnice $k$ s výjimkou bodů $A,B.$
						\end{enumerate}
				
				\item 
					V trojúhelníku o stranách $a,b,c$ označme
						\[
							x=b^2+c^2-a^2
						\]
					a $\alpha$ úhel proti straně $a.$ Dokažte, že $\alpha<90^\circ$ právě tehdy, když $x>0;$ $\alpha=90^\circ$ právě tehdy, když $x=0;$ a $\alpha>90^\circ$ právě tehdy, když $x<0.$	
				
				\item 
					\begin{enumerate}[font=\normalfont]
						\item 
							Buďte $a,b,c$ kladná racionální čísla taková, že
								\[
									a+\sqrt b=\sqrt c.
								\]
							Dokažte, že jsou čísla $b,c$ druhými mocninami racionálních čísel.
							
						\item 
							Buďte $a,b,c,d$ kladná racionální čísla, přičemž $b$ není druhou mocninou racionálního čísla. Jestliže platí
								\[
									a+\sqrt b=c+\sqrt d,
								\]
							potom $a=c,b=d.$ Dokažte.
					\end{enumerate}
				
				\item 
					Najděte posledních pět cifer dekadického zápisu čísla $5^{555}.$
				
				\item 
					\begin{enumerate}[font=\normalfont]
						\item 
							Ve čtyřstěnu $A_1A_2A_3A_4$ označme $T_n$ těžiště jeho stěny, která je protější k vrcholu $A_n,$ kde $n=1,2,3,4.$ Dokažte, že se úsečky $A_nT_n,n=1,2,3,4$ protínají v jednom bodě $T$ (takový bod nazveme těžiště čtyřstěnu) a platí
								\[
									|A_nT_n|=4|TT_n|.
								\]
						
						\item 
							Buď dána rovina $ABC$ a v ní bod $P,$ dále bod $Q,$ který v rovině $ABC$ neleží. Uvažme čtyřstěn $ABCD,$ jehož vrchol $D$ leží uvnitř polopřímky $PQ,$ a označme $T$ jeho těžiště. Co vyplní všechny body $T,$ probíhá-li bod $D$ vnitřek polopřímky $PQ?$
					\end{enumerate}
				
				\item 
					Označme $T$ střed základny $PQ$ daného rovnoramenného trojúhelníku $OPQ.$ V polorovině $PQO$ buď dána kružnice $k$ o poloměru $r$ dotýkající se přímky $PQ$ v bodě $T.$ Sestrojte body $A,B$ postupně uvnitř úseček $OP,OQ,$ které mají tyto vlastnosti:
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								$AB\parallel PQ,$
								
							\item 
								přímka $AB$ protne kružnici $k$ ve dvou různých bodech $M,N,$
								
							\item 
								platí $|MN|=3|AB|.$
						\end{enumerate}
					Proveďte diskuzi řešitelnosti vzhledem k délkám $a,v,r,$ kde $a=\frac12|PQ|,v=|OT|.$
				
				\item 
					Dokažte, že pro každé reálné číslo $a$ platí
						\[
							3\left(1+a^2+a^4\right)\ge\left(1+a+a^2\right)^2,
						\]
					a určete, kdy nastává rovnost.
				
				\item 
					Označme obvyklým způsobem $a,b,c$ strany trojúhelníka a $\alpha,\beta,\gamma$ jeho úhly. Platí-li pro jeho úhly $\beta=3\alpha,$ pak pro jeho strany platí vztah
						\[
							\frac{c^2}{(b-a)^2}=\frac{b+a}{a}.
						\]
					Dokažte.
				
				\item 
					Buď dána přímka $p$ a na ní po řadě různé body $O,A_1,A_2,A_3$ tak, že $|OA_1|=|A_1A_2|=|A_2A_3|.$ V~jedné z polorovin vyťatých přímkou $p$ sestrojme čtverce $OA_1B_1B_0, A_1A_2B_2B_1,$ $A_2A_3B_3B_2.$ Dokažte, že 
						 \[
						 	|\sphericalangle B_1OA_1|+|\sphericalangle B_2OA_2|+|\sphericalangle B_3OA_3|=90^\circ.
						 \]
				
				\item 
					Buďte dány dvě různé rovnoběžné roviny $\kappa,\gamma.$ V rovině $\kappa$ je dán kruh $\mathsf{K},$ v rovině $\gamma$ čtverec $\mathsf{C}.$ Buď $X$ libovolný bod kruhu $\mathsf{K}$ a $Y$ libovolný bod čtverce $\mathsf{C}$ (tj. i jeho vnitřku). Najděte množinu středů všech takových úseček $XY.$
				
			\end{enumerate}

		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Nechť je dáno reálné číslo $a.$ Proveďte rozbor funkce
						\[
							y=ax^2+|x^2-1|
						\]
					vzhledem na různé hodnoty čísla $a$ a na základě rozboru načrtněte graf funkce.
				
				\item 
					Dokažte, že pro každé reálné číslo $x$ platí
						\[
							\frac 23\leq\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\leq2.
						\]
				
				\item 
					Buď dána rovina $\varrho$ a bod $C\notin\varrho.$ Označme $P$ patu kolmice vedené bodem $C$ k rovině $\varrho.$ V~rovině $\varrho$ buď dále dán bod $A\neq P.$ Uvažme obdélník $ABCD,$ kde $B\in\varrho,$ a jeho střed označme $S.$ Vyšetřete množinu bodů $B$ a množinu bodů $D$ všech takto sestrojených obdélníků $ABCD.$
				
				\item 
					V téže polorovině vyťaté přímkou $p$ leží trojúhelníky $ABC,A'B'C'$ tak, že body $A,B,A',B'$ leží na přímce $p.$ Označme $c=|AB|,c'=|A'B'|$ a $v,v'$ velikosti výšek v těchto trojúhelnících, které po řadě příslušejí ke stranám $AB,A'B'$ daných trojúhelníků. Sestrojte přímku $q\parallel p$ takovou, aby proťala úsečky $AC,BC,A'C',B'C'$ uvnitř po řadě v bodech $M,N,M',N'$ takových, že platí $|MN|=|M'N'|.$ Proveďte diskuzi řešitelnosti úlohy vzhledem k daným rozměrům $c,c',v,v'$ za předpokladu $v>v'.$
				 
			\end{enumerate}


	\section{kategorie C}
			
		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Do nádržky stále přitéká rovnoměrným proudem voda. Jestliže se v určitém okamžiku otevřou tři stejné odtokové trubice, vyprázdní se nádržka za 18 hodin. Kdybychom v témže okamžiku otevřeli jen dvě ze tří odtokových trubic, vyprázdnila by se nádrž za 30 hodin. Za kolik hodin by se vyprázdnila nádrž, kdybychom ve zmíněném okamžiku otevřeli pouze jednu ze tří odtokových trubic?
					
				\item 
					Dokažte, že pokud pro reálná čísla $a,b,c$ a $d\neq0$ platí
						\[
							d=a+b+c,
						\]
					potom platí také
						\[
							a^2+b^2+c^2+d^2=(a-d)^2+(b-d)^2+(c-d)^2.
						\]
					Lze tvrzení obrátit?
					
				\item 
					Jestliže přímka rozdělí trojúhelník $ABC$ na dva rovnoramenné trojúhelníky, má trojúhelník $ABC$ buď dva úhly v součtu $90^\circ,$ nebo dva úhly v poměru $1:2,$ nebo dva úhly v poměru $1:3.$ Dokažte.
					
				\item 
					Nechť jsou dány kružnice $k$ se středem $S,$ poloměrem $r$ a bod $X,$ jehož vzdálenost od bodu $S$ je $x.$
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Největší možný součet vzdáleností bodu $X$ od kterýchkoliv dvou bodů kružnice $k$ (různých nebo splývajících) je $2(r+x).$ Dokažte.
								
							\item 
								Jaký útvar vyplní body, jejichž součet vzdáleností od kterýchkoli dvou bodů kružnice $k$ není větší než poloviční délka kružnice $k$?
						\end{enumerate}
					
				\item 
					Dokažte, že každá dvě přirozená čísla mající desítkový zápis ve tvarech
						\[
							\overline{uvuvuv},\quad\overline{xyzxyz},
						\]
					kde $u,v,x,y,z$ jsou některé z cifer $0,1,\ldots,9,$ jsou soudělná. (Připouštíme i možnosti $u=0$ nebo $x=0.$)
					
				\item 
					Určete, kolik tahů koněm lze provést na čtvercové šachovnici, která má $n^2$ polí, kde $n>1$ je přirozené číslo. (Tj. určete, kolik existuje různých uspořádaných dvojic (start, cíl), kde start je výchozí pole, na které je kůň umístěn, a cíl je pole po jednom tahu tímto koněm.)
					
				\item 
					Buď přímka $AB$ a na ní bod $Z.$ Bodem $Z$ sestrojme přímku $p\perp AB$ a zvolme na ní bod $C\neq Z.$ Označme $T$ těžiště trojúhelníka $ABC.$ Jaký útvar vyplní bod $T,$ probíhá-li bod $C$ přímku $p$ bez bodu $Z?$
					
				\item 
					Buď dána konvexní deltoid $ABCD$ s osou soměrnosti $AC.$ Označme $S$ průsečík přímek $AC,BD,$ veďme jím kolmice k přímkám $AB,BC,CD,DA$ a jejich paty označme po řadě $M,N,P,Q.$ 
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Dokažte, že $MQ\parallel NP.$
							
							\item 
								Vyjádřete velikosti vnitřních úhlů čtyřúhelníka $MNPQ$ pomocí velikostí vnitřních úhlů daného deltoidu.
								
							\item 
								Rozhodněte, kdy je $MNPQ$ lichoběžník a kdy rovnoběžník. 
						\end{enumerate}
					
				\item 
					Nechť nenulová reálná čísla $a,b,c$ splňují
						\[
							\left(\frac1a+\frac1b\right)\left(\frac1b+\frac1c\right)\left(\frac1c+\frac1a\right)=0.
						\]
					Určete všechna přirozená čísla $n,$ pro která platí	
						\[
							\left(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\right)\left(\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}\right)\left(\frac{1}{c^n}+\frac{1}{a^n}\right)=0.
						\]
					
				\item 
					Buď $N$ přirozené číslo takové, že je druhou mocninou přirozeného čísla, a jehož desítkový zápis má na místě jednotek číslici 6. Dokažte, že na místě desítek v zápise tohoto čísla stojí lichá cifra.
					
				\item 
					Buď dán obdélník $ABCD.$ Na přímkách $AB,BC,CD,DA$ zvolme po řadě body $X,U,Y,V$ tak, aby platilo $XY\perp UV.$ Dokažte, že
						\[
							\frac{|UV|}{|XY|}=\frac{|AB|}{|AD|}.
						\]
					
				\item 
					Buď dána kružnice $k$ se středem $S$ a poloměrem $r.$ Uvnitř této kružnice je dán bod $A\neq S.$ Sestrojte rovnoběžník $ABCD,$ jehož vrcholy $B,C,D$ leží na kružnici $k$ a $|AB|=r.$
					
				\item 
					Určete všechna přirozená čísla $m$ taková, pro která je číslo $m^2-25$ nezáporné a dělitelné osmi.
					
				\item 
					Řešte soustavu rovnic
						\begin{align*}
							\frac xa+ay &= a, \\
							ax+\frac ay &= 1,
						\end{align*}
					s neznámými $x,y$ a reálným parametrem $a\neq0.$
					
				\item 
					Symbolem $(S, SR)$ označme kružnici se středem $S$ a poloměrem $SR.$ Mějme dány dva různé body $A,B.$ Jeden z průsečíků kružnic $(A,AB),(B,BA)$ označme $C.$ Označme $D$ průsečík kružnic $(B,BA),(C,CA)$ různý od $A$ a $E$ průsečík kružnic $(B,BA),(D,DC)$ různý od $C.$ Dále označme $U,V$ průsečíky krůžnic $(A,AB),(E,EA)$ a konečně $X$ průsečík kružnic $(U,UA),(V,VA)$ různý od $A.$ Dokažte, že
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								body $A,B,E$ leží na jedné přímce,
								
							\item 
								trojúhelníky $EAU,UAX$ jsou podobné,
								
							\item 
								platí $|AX|=|BX|.$
						\end{enumerate}
					
				\item 
					Trojúhelník $ABC$ má obsah 24 cm${}^2$. Označme $X$ střed strany $AB$ a $Y$ takový bod strany $BC,$ že platí $|BY|=2|CY|.$ Konečně označme $Z$ průsečík úseček $CX,AY.$ Vypočítejte obsah čtyřúhelníku $BYZX.$
					
			\end{enumerate}
			
		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Řešte rovnici
						\[
							\frac{x}{x-m}+\frac{x}{x+m}=\frac{2x}{x+1}
						\]
					s neznámou $x$ a reálným parametrem $m.$
					
				\item 
					Dokažte, že každou celočíselnou částku větší než 7 Kčs je možné zaplatit pomocí tříkorunových a pětikorunových bankovek. Určete nejmenší počet (tří- a pětikorunových) bankovek, kterými je možné zaplatit částku 364 Kčs.
					
				\item 
					Buď dána úsečka $S_1S_2$ a její vnitřní bod $P.$ Označme $v_1=|PS_1|,v_2=|PS_2|$ a předpokládejme $v_1\ge v_2.$ Uvažme kružnice $k_1,k_2$ postupně se středy $S_1,S_2$ a poloměry $r_1,r_2.$ Dále uvažme přímku $p\perp S_1S_2$ procházející bodem $P.$ Sestrojte čtverec $ABCD$ tak, aby bod $A$ ležel na kružnici $k_1,$ bod $C$ na kružnici $k_2$ a aby body $B,D$ ležely na přímce $p.$ Dokažte, že pokud kružnice $k_1,k_2$ nemají společný bod na přímce $p$ a současně platí
						\[
							|r_1-r_2|\le v_1-v_2<r_1+r_2,
						\]
					potom má daná úloha řešení.
					
				\item 
					Buď dán trojúhelník $ABC,$ kružnice $k$ tomuto trojúhelníku opsaná a její střed $S.$ Osa úhlu $BCA$ protne kružnici $k$ ještě v bodě $D\neq C.$ Dokažte, že je trojúhelník $ABD$ rovnoramenný a přímka $SD$ je jeho osou souměrnosti.
					
			\end{enumerate}


	\section{kategorie D}
	
		\subsection{Úlohy I. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Pět chlapců pracovalo šest dní na chmelové brigádě. Za vykonanou práci jim měla být vyplacena odměna úměrná jejich práci, ale s tou výhradou, že z této odměny jim odečtou za stravování částku 6 Kčs denně za každého chlapce. Přitom průměrný denní výkon prvního chlapce byl 6, druhého 11, třetího 12, čtvrtého 15 a pátého 16 vaků načesaného chmelu. Za vykonanou práci dostali chlapci po sjednané srážce odměnu v součtu 180 Kčs. Vypočítejte, jak si chlapci spravedlivě rozdělí tuto částku.
				
				\item 
					Sedm spolužáků se na začátku prázdnin dohodlo, že každý napíše třem dalším z nich zprávu o svém prázdninovém pobytu. Je to možné zařídit tak, aby každý z nich dostal právě tři dopisy od těch třech spolužáků, kterým sám napsal?
				
				\item 
					Buďte dány dvě úsečky o velikostech $p,q.$ Uvažme rovnostranný trojúhelník $ABC$ o straně velikosti $p$ a označme $O$ střed kružnice jemu opsané. Na polopřímkách opačných postupně k~$BA, CB, AC$ uvažme (postupně) body $X,Y,Z$ takové, že 
						\[
							|BX|=|CY|=|AZ|=q.
						\]
					Dokažte, že $XYZ$ je rovnostranný trojúhelník a $O$ je středem kružnice jemu opsané.
				
				\item 
					Mějme trojúhelník $ABC.$ Sestrojte bod $X$ uvnitř strany $AC$ a bod $Y$ uvnitř strany $BC$ tak, aby platilo
						\[
							|AX|=|XY|,\quad XY\parallel AB.
						\]
					Dokažte správnost provedené konstrukce.	
				
				\item 
					Je dán zlomek
						\[
							\frac{-x}{a^2+y^2},
						\]
					kde $a$ je pevně dané nenulové číslo. Čísla $x,y$ volíme libovolně. Dokažte, že
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								jmenovatel zadaného zlomku je kladný,
								
							\item 
								znaménko výsledného podílu je opačné k znaménku čísla $x,$ nebo se číslo $x$ i daný zlomek současně rovnají nule.
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Nechť $a,b,c$ jsou libovolná čísla. Dokažte, že je číslo
						\[
							x=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\right)
						\]
					nezáporné a najděte všechny trojice čísel $a,b,c,$ pro které je číslo $x$ rovno nule.
				
				\item 
					Mějme pravoúhlý trojúhelník $ABC$ s pravým úhlem při vrcholu $C.$ Na polopřímkách opačných k $CA,CB$ zvolme postupně body $B_1,A_1$ takové, že 
						\[
							|CB_1|=|CB|,\quad |CA_1|=|CA|.
						\]
					Bodem $C$ veďme kolmici $p$ k přímce $A_1B_1$ a označme $D$ její patu. Dokažte, že
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								jsou trojúhelníky $ABC$ a $A_1B_1C$ shodné,
								
							\item 
								přímka $p$ protne úsečku $AB$ v jejím vnitřním bodě $F,$
								
							\item 
								bod $F$ z předchozího bodu je střed úsečky $AB,$
								
							\item 
								střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku půlí jeho přeponu.
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Rovnoramenný trojúhelník $ABC$ se základnou $AB$ má obvod 50 cm. Označme po řadě $D,E$ středy stran $BC,AC.$ Obvod trojúhelníku $ABE$ je o 8 cm větší než obvod trojúhelníku $ACD.$ Vypočtěte velikosti stran $AB,AC.$
				
				\item 
					Vzdálenost Prahy a Brna po železniční trati je 255 km. Rychlík projede tuto trať za dobu 4 h 45 min. Chceme-li, aby se doba jízdy rychlíku zkrátila o 10~\%, o kolik procent se musí zvýšit průměrná rychlost vlaku?
				
				\item 
					Buďte $a,b,c$ čísla, ne všechna nulová, splňující
						\[
							ab+bc+ca=0.
						\]
					Dokažte, že potom má zlomek
						\[
							\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}
						\]
					tutéž hodnotu pro všechny přípustné trojice $a,b,c,$ a tuto hodnotu určete.
				
				\item 
					Buď dán rovnoběžník $ABCD$ a libovolný bod $O.$ Bodem $O$ sestrojte přímku $p$ protínající přímky $DA,AB,BC,CD$ po řadě v takových bodech $M,X,N,Y$ že platí $|XY|=|MN|.$ Dokažte správnost nalezené konstrukce a rozhodněte, kolik má úloha řešení.
				
				\item 
					Uvnitř trojúhelníku $ABC_1$ leží bod $C_n$ takový, že
						\[
							|\sphericalangle C_nAB|=\frac1n|\sphericalangle C_1AB|,\quad |\sphericalangle ABC_n|=\frac1n|\sphericalangle ABC_1|,
						\]
					kde $n>1$ je přirozené číslo. Vyjádřete velikost úhlu $\sphericalangle AC_nB$ pomocí velikosti úhlu $\sphericalangle ACB.$
				
				\item 
					Označme 
						\[
							V(m)=\frac{1+m}{5+m}.
						\]
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								Dokažte, že
									\[
										\frac15<V(m)<1
									\]
								pro libovolné přirozené $m.$
								
							\item 
								Určete, který z rozdílů $V(200)-V(100), V(300)-V(200)$ je větší.
						\end{enumerate}
				
				\item 
					Dokažte, že je mnohočlen
						\[
							4x^4y^2+1-x^2\left(4y^2+1\right)
						\]
					kladný pro libovolná čísla $x>1, y>1.$
				
				\item 
					Je dán rovnoramenný trojúhelník $ABC$ se základnou $BC.$ Dále je v polorovině $BCA$ dána kružnice $k$ dotýkající se přímky $BC$ v bodě $B,$ jejíž průměr je roven vzdálenosti bodu $A$ od přímky $BC.$ Sestrojte sečnu $s$ kružnice $k$ takovou, že
						\begin{enumerate}[font=\normalfont]
							\item 
								$s\parallel BC,$
								
							\item 
								přímka $s$ protíná kružnici $k$ v bodech $M,N$ a úsečky $AB,AC$ v bodech $X,Y,$ přičemž platí $|MN|=|XY|.$
						\end{enumerate}
					Dokažte, že úloha má jediné řešení.
				
				\item 
					Buď dán pravoúhlý trojúhelník $ABC$ s přeponou $AB,$ ve kterém $|BC|<|AC|.$ Označme $P$ patu výšky z vrcholu $C$ a $O$ střed úsečky $AB.$ Dokažte, že body $A,O,P,B$ leží v tomto pořadí na přímce. Vyjádřete velikost úhlu $\sphericalangle OCP$ pomocí velikosti úhlu $\sphericalangle CAB.$
				
				
			\end{enumerate}
		
		\subsection{Úlohy II. kola}
			\begin{enumerate}
				\item 
					Obdélník $ABCD$ má rozměry $|AB|=6,6\text{ cm},|BC|=\frac{14}{3}\text{ cm}$ a označme $F$ střed strany $AB.$ Na polopřímce $BC$ uvažme bod $X$ takový, že obsah trojúhelníka $AFX$ je roven $\frac 58$ obsahu obdélníka $ABCD.$ Vypočtěte délku úsečky $BX.$
				
				\item 
					Číslování stránek učebnice matematiky pro 6. ročník začíná číslem 5 a končí číslem 272. Podobně v učebnici pro 7. ročník začíná číslování stránek číslem 3 a končí číslem 320; v~učebnici pro 8. ročník začíná číslem 3 a končí číslem 255. Kolik cifer bylo celkem natištěno při očíslování všech stránek všech tří učebnic?
				
				\item 
					V rovině jsou dány různé body $S,P.$ Sestrojte pravoúhlý trojúhelník $ABC$ s přeponou délky $c$ tak, aby bod $S$ byl středem přepony $AB$ a $P$ středem odvěsny $AC.$ Dokažte, že úloha má řešení, pokud $c>2|SP|.$
				
				\item 
					Mějme lichoběžník $ABCD$ takový, že $AB\parallel CD, |AB|>|CD|.$ Dokažte, že součet úhlů při základně $CD$ je větší než součet úhlů při základně $AB.$
				
			\end{enumerate}

\end{document}
